Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，E是BC邊上的一點，BE＝4，EC＝8，將正方形邊AB沿AE折疊到AF，延長EF交DC于G，連接AG，現在有如下四個結論：①∠EAG＝45°；②FG＝FC；③FC∥AG；④S△GFC＝14．其中結論正確的序號是_____．

Answer 1

【答案】①③．

【解析】

證明∠GAF=∠GAD，∠EAB=∠EAF即可判斷①．證明DG=GC=FG，顯然△GFC不是等邊三角形，可得判斷②．證明CF⊥DF，AG⊥DF即可判斷③．證明FG：EG=3：5，求出△ECG的面積即可判斷④．

如圖，連接DF．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝AD＝BC＝CD，∠ABE＝∠BAD＝∠ADG＝∠ECG＝90°，

由翻折可知：AB＝AF，∠ABE＝∠AFE＝∠AFG＝90°，BE＝EF＝4，∠BAE＝∠EAF，

∵∠AFG＝∠ADG＝90°，AG＝AG，AD＝AF，

∴Rt△AGD≌Rt△AGF（HL），

∴DG＝FG，∠GAF＝∠GAD，設GD＝GF＝x，

∴∠EAG＝∠EAF+∠GAF＝（∠BAF+∠DAF）＝45°，故①正確，

在Rt△ECG中，∵EG2＝EC2+CG2，

∴（4+x）2＝82+（12﹣x）2，

∴x＝6，

∵CD＝BC＝BE+EC＝12，

∴DG＝CG＝6，

∴FG＝GC，

易知△GFC不是等邊三角形，顯然FG≠FC，故②錯誤，

∵GF＝GD＝GC，

∴∠DFC＝90°，

∴CF⊥DF，

∵AD＝AF，GD＝GF，

∴AG⊥DF，

∴CF∥AG，故③正確，

∵S△ECG＝×6×8＝24，FG：FE＝6：4＝3：2，

∴FG：EG＝3：5，

∴S△GFC＝×24＝，故④錯誤，

故答案為：①③．