Question

【題目】如圖①，點O是正方形ABCD兩對角線的交點，分別延長OD到點G，OC到點E，使OG＝2OD，OE＝2OC，然后以OG、OE為鄰邊作正方形OEFG，連接AG，DE.

(1)求證：DE⊥AG；

(2)正方形ABCD固定，將正方形OEFG繞點O逆時針旋轉α角(0°＜α＜360°)得到正方形OE′F′G′，如圖②.

①在旋轉過程中，當∠OAG′是直角時，求α的度數；

②若正方形ABCD的邊長為1，在旋轉過程中，求AF′長的最大值和此時α的度數，直接寫出結果不必說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析 ；（2）①α＝30°或150° ，②α＝315°.

【解析】試題分析: （1）延長ED交AG于點H，易證△AOG≌△DOE，得到∠AGO=∠DEO，然后運用等量代換證明∠AHE=90°即可；

（2）①在旋轉過程中，∠OAG′成為直角有兩種情況：α由0°增大到90°過程中，當∠OAG′=90°時，α=30°，α由90°增大到180°過程中，當∠OAG′=90°時，α=150°；

②當旋轉到A、O、F′在一條直線上時，AF′的長最大，AF′=AO+OF′=+2，此時α=315°．

試題解析:

(1)如圖1,延長ED交AG于點H,

∵點O是正方形ABCD兩對角線的交點，

∴OA=OD，OA⊥OD，

∵OG=OE，

在△AOG和△DOE中，

，

∴△AOG≌△DOE，

∴∠AGO=∠DEO，

∵∠AGO+∠GAO=90°，

∴∠GAO+∠DEO=90°，

∴∠AHE=90°，

即DE⊥AG；

(2)①在旋轉過程中,∠OAG′成為直角有兩種情況：

(Ⅰ)α由0°增大到90°過程中,當∠OAG′=90°時，

∵OA=OD=OG=OG′，

∴在Rt△OAG′中,sin∠AG′O==，

∴∠AG′O=30°，

∵OA⊥OD,OA⊥AG′，

∴OD∥AG′,

∴∠DOG′=∠AG′O=30°，

即α=30°；

(Ⅱ)α由90°增大到180°過程中,當∠OAG′=90°時，

同理可求∠BOG′=30°，

∴α=180°30°=150°.

綜上所述,當∠OAG′=90°時,α=30°或150°.

②如圖3,當旋轉到A.O、F′在一條直線上時,AF′的長最大，

∵正方形ABCD的邊長為1，

∴OA=OD=OC=OB=，

∵OG=2OD，

∴OG′=OG=，

∴OF′=2，

∴AF′=AO+OF′=+2，

∵∠COE′=45°，

∴此時α=315°.

點睛: 本題考查的是正方形的性質、旋轉變換的性質以及銳角三角函數的定義，掌握正方形的四條邊相等、四個角相等，旋轉變換的性質是解題的關鍵，注意特殊角的三角函數值的應用．