Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，AC=CD，若點E、F分別為邊BC、CD上的兩點，且∠EAF=∠CAD．

（1）求證：△ADF∽△ACE；

（2）求證：AE=EF．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．

【解析】

（1）根據平行四邊形的性質可得到∠BCA=∠CAB，由等邊對等角可得到∠CAD=∠D，根據平行四邊形的性質利用SAS可判定△BCA≌△DAC，由全等三角形的性質即可得到∠D=∠ACB，再根據相似三角形的判定得出即可；

（2）由△ADF∽△ACE可得到對應邊成比例，已知∠EAF=∠CAD從而可推出△AEF∽△ACD，已知AC=CD，根據對應成比例不難得到結論．

解：（1）∵AC=CD，

∴∠D=∠CAD．

∵平行四邊形ABCD，

∴AD∥BC，

∴∠CAD=∠ACB，

∴∠D=∠ACB．

∵∠EAF=∠CAD，

∴∠DAF=∠CAE，

∴△ADF∽△ACE；

（2）∵△ADF∽△ACE，

∴，

∵∠EAF=∠CAD，

∴△AEF∽△ACD，

∴，

又∵AC=CD，

∴AE=EF．