Question

【題目】設函數f（x）= ，D是由x軸和曲線y=f（x）及該曲線在點（1，0）處的切線所圍成的封閉區域，則z=x2+y2+2x+2y在D上的最小值為 ．

Answer 1

【答案】﹣
【解析】解：當x＞0時，f′（x）= ， 則f′（1）=1，所以曲線y=f（x）及該曲線在點（1，0）處的切線為y=x﹣1，
D是由x軸和曲線y=f（x）及該曲線在點（1，0）處的切線所圍成的封閉區域如下圖陰影部分．

而z=x2+y2+2x+2y=（x+1）2+（y+1）2﹣2，
表示以（﹣1，﹣1）為圓心，以（﹣1，﹣1）與陰影部分內的點為半徑的平方再減2，
顯然（﹣1，﹣1）到直線AC的距離最小，
由C（﹣ ，0），A（0，﹣1）得AC的方程是：2x+y+1=0，
此時，r=d= = ，r2= ，
故z的最小值是 ﹣2=﹣ ，
所以答案是：﹣ ．