Question

設p是實數，二次函數y=x²-2px-p的圖象與x軸有兩個不同的交點A（x₁，0）、B（x₂，0）．
（1）求證：2px₁+x₂²+3p＞0；
（2）若A、B兩點之間的距離不超過|2p-3|，求P的最大值．

Answer 1

分析：（1）由于二次函數y=x²-2px-p的圖象與x軸有兩個不同的交點，由此得到其判別式是正數，同時把x₂代入函數解析式然后變形即可解決問題；
（2）由于AB=|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

4p2+4p

，然后利用已知條件即可得到關于p的不等式，解不等式即可求解．

解答：解：（1）∵二次函數y=x²-2px-p的圖象與x軸有兩個不同的交點A（x₁，0）、B（x₂，0）．
∴△=4p²+4p＞0，x₂²-2px₂-p=0，
∴2px₁+x₂²+3p，
=2px₁+2px₂+p+3p，
=2p（x₁+x₂）+4p，
=4p²+4p＞0；

（2）AB=|x₁-x₂|，
=

(x1+x2)2-4x1x2

，
=

4p2+4p

≤|2p-3|，
解之得p≤

9

16

，
又當p=

9

16

時滿足題意，
故p的最大值是

9

16

．

點評：此題主要考查了拋物線與x軸的交點，首先利用拋物線與x軸有交點得到判別式是正數，然后利用圖象上點的坐標滿足解析式即可求解；同時也利用了公式AB=|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

4p2+4p

和解不等式．