Question

設p是實數，二次函數y=x²-2px-p的圖象與x軸有兩個不同的交點A（x₁，0）、B（x₂，0）．
（1）求證：2px₁+x₂²+3p＞0；
（2）若A、B兩點之間的距離不超過|2p-3|，求P的最大值．

Answer 1

（1）∵二次函數y=x²-2px-p的圖象與x軸有兩個不同的交點A（x₁，0）、B（x₂，0）．
∴△=4p²+4p＞0，x₂²-2px₂-p=0，
∴2px₁+x₂²+3p，
=2px₁+2px₂+p+3p，
=2p（x₁+x₂）+4p，
=4p²+4p＞0；

（2）AB=|x₁-x₂|，
=

(x1+x2)2-4x1x2

，
=

4p2+4p

＜|2p-3|，
解之得p≤

9

16

，
又當p=

9

16

時滿足題意，
故p的最大值是

9

16

．