Question

設(shè)p是實(shí)數(shù)，二次函數(shù)y=x²-2px-p的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A（x₁，0）、B（x₂，0）．
（1）求證：2px₁+x₂²+3p＞0；
（2）若A、B兩點(diǎn)之間的距離不超過(guò)|2p-3|，求P的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于二次函數(shù)y=x²-2px-p的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，由此得到其判別式是正數(shù)，同時(shí)把x₂代入函數(shù)解析式然后變形即可解決問(wèn)題；
（2）由于AB=|x₁-x₂|==，然后利用已知條件即可得到關(guān)于p的不等式，解不等式即可求解．
解答：解：（1）∵二次函數(shù)y=x²-2px-p的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A（x₁，0）、B（x₂，0）．
∴△=4p²+4p＞0，x₂²-2px₂-p=0，
∴2px₁+x₂²+3p，
=2px₁+2px₂+p+3p，
=2p（x₁+x₂）+4p，
=4p²+4p＞0；

（2）AB=|x₁-x₂|，
=，
=＜|2p-3|，
解之得p≤，
又當(dāng)p=時(shí)滿足題意，
故p的最大值是．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，首先利用拋物線與x軸有交點(diǎn)得到判別式是正數(shù)，然后利用圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足解析式即可求解；同時(shí)也利用了公式AB=|x₁-x₂|==和解不等式．