Question

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，線段AD是BC邊上的中線．
小題1:如圖(Ⅰ)，將△ADC沿直線BC平移，使點D與點C重合，得到△FCE，連結AF．求證：四邊形ADEF是等腰梯形；

小題2:如圖(Ⅱ)，在（1）的條件下，再將△FCE繞點C順時針旋轉，設旋轉角為（0°<<90°）連結AF、DE．

AC⊥CF時，求旋轉角的度數；②當=60°時，請判斷四邊形ADEF的形狀，并給予證明．

Answer 1

小題1:證明：∵△ADC沿直線BC平移得到△FCE，
∴AD∥FC，且AD=FC，∴四邊形ADCF是平行四邊形，
∴AF∥DC，即AF∥DE，------------------------------------------------1分
∵∠BAC=90°，∠B=30°，∴∠ACD=60°，
∵AD是BC邊上的中線，∴AD=DC，-------------------------------2分
∴△ADC是等邊三角形，------------------------------------------------3分
∵△ADC≌△FCE，∴△FCE是等邊三角形，
∴AD=FE，------------------------------------------------------------------4分
∵AF≠DE，∴四邊形ADEF是等腰梯形．--------------------------5分
小題2:①解：由（1）可知∠1=60°，-----------------6分
當AC⊥CF時，∠2=90°-60°=30°，
∴旋轉角的度數為30°，----------------------------------7分
②四邊形ADEF為矩形，----------------------------------8分
由（1）可知△ADC和△FCE是全等正三角形，
∴CA=CE=CD=CF，---------------------9分
當=60°時，如圖（Ⅲ），∠ACF=60°+60°=120°，

∴∠ACE="120°+60°=180°" ，∴A、C、E三點共線，同理：D、C、F三點共線，--------10分
∴AE=DF，---------11分
∴四邊形ADEF為矩形．----------------------12分

利用平移的性質、全等三角形和矩形的判定求證