Question

【題目】如圖，在梯形ABCD中，，，，，點E為AB邊上一點，且．點F是BC邊上的一個動點（與點B、點C不重合），點G在射線CD上，且．設BF的長為x，CG的長為y．

（1）當點G在線段DC上時，求y與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；

（2）當以點B為圓心，BF長為半徑的⊙B與以點C為圓心，CG長為半徑的⊙C相切時，求線段BF的長；

（3）當為等腰三角形時，直接寫出線段BF的長．

Answer 1

【答案】（1），；（2）當⊙B與⊙C相切時，線段BF的長為：2或4或6；（3）當△FCG為等腰三角形時，線段BF的長為 或2或.

【解析】

（1）根據梯形的性質得到∠B＝∠C，進行證明∠GFC＝∠FEB，得到△EBF∽△FCG，根據相似三角形的性質得到，即可求出y與x之間的函數關系式.

（2）分兩種情況:①當⊙B與⊙C外切時， BF＋CG＝BC；②當⊙B與⊙C內切時， CG－BF＝BC進行討論即可.

（3）分三種情況進行討論即可.

（1）∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC

∴∠B＝∠C

∵∠EFC=∠B＋∠BEF＝=∠EFG＋∠GFC，∠EFG＝∠B

∴∠GFC＝∠FEB

∴△EBF∽△FCG

∴，∴

∴

自變量x的取值范圍為：

（2）當，都有

，

①當⊙B與⊙C外切時， BF＋CG＝BC

∴，解得x＝2或x＝12（舍去）

②當⊙B與⊙C內切時， CG－BF＝BC

∴，解得x＝4或x＝6

綜上所述，當⊙B與⊙C相切時，線段BF的長為：2或4或6

（3）當△FCG為等腰三角形時，線段BF的長為： 或2或