Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，過點C作BC的垂線交⊙O于D，點E在BC的延長線上，且∠DEC＝∠BAC．

（1）求證：DE是⊙O的切線；

（2）若AC∥DE，當AB＝8，CE＝2時，求⊙O直徑的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）⊙O直徑的長是4．

【解析】

（1）先判斷出BD是圓O的直徑，再判斷出BD⊥DE，即可得出結論；
（2）先判斷出AC⊥BD，進而求出BC=AB=8，進而判斷出△BDC∽△BED，求出BD，即可得出結論．

證明：（1）連接BD，交AC于F，

∵DC⊥BE，

∴∠BCD＝∠DCE＝90°，

∴BD是⊙O的直徑，

∴∠DEC+∠CDE＝90°，

∵∠DEC＝∠BAC，

∴∠BAC+∠CDE＝90°，

∵弧BC=弧BC，

∴∠BAC＝∠BDC，

∴∠BDC+∠CDE＝90°，

∴BD⊥DE，

∴DE是⊙O切線；

解：（2）∵AC∥DE，BD⊥DE，

∴BD⊥AC．

∵BD是⊙O直徑，

∴AF＝CF，

∴AB＝BC＝8，

∵BD⊥DE，DC⊥BE，

∴∠BCD＝∠BDE＝90°，∠DBC＝∠EBD，

∴△BDC∽△BED，

∴＝，

∴BD2＝BCBE＝8×10＝80，

∴BD＝4．

即⊙O直徑的長是4．