Question

（2013•大豐市一模）如圖，長方形ABCD中，AB=4，AD=3，E是邊AB上一點（不與A、B重合），F是邊BC上一點（不與B、C重合）．若△DEF和△BEF是相似三角形，則CF=

5

3

或

3

2

．

Answer 1

分析：分①∠DEF=90°時，設AE=x，表示出BE=4-x，然后根據△ADE和△BEF相似，根據相似三角形對應邊成比例可得

AD

BE

=

DE

EF

，再根據相似三角形的鄰邊之比分兩種情況列式求出x的值，然后求出BE，再求出BF、CF的值即可得解；②∠DFE=90°時，設CF=x，然后根據△BEF和△CFD相似，根據相似三角形對應邊成比例可得

DC

BF

=

DF

EF

，再根據相似三角形的鄰邊之比分兩種情況列式求出x的值，即可得解．

解答：解：①如圖1，∠DEF=90°時，設AE=x，則BE=4-x，
易求△ADE∽△BEF，
∴

AD

BE

=

DE

EF

，
即

3

4-x

=

DE

EF

，
∵△DEF和△BEF是相似三角形，
∴△DEF和△ADE是相似三角形，
∴

DE

EF

=

AD

BE

或

DE

EF

=

BE

AD

，
∴

3

4-x

=

3

x

或

3

4-x

=

x

3

，
整理得，6x=12或x²-4x+9=0（無解），
解得x=2，
∴BE=4-2=2，

3

2

=

2

BF

，
解得BF=

4

3

，
CF=3-

4

3

=

5

3

；

②如圖2，∠DFE=90°時，設CF=x，則BF=3-x，
易求△BEF∽△CFD，
∴

DC

BF

=

DF

EF

，
即

4

3-x

=

DF

EF

，
∵△DEF和△BEF是相似三角形，
∴△DEF和△DCF是相似三角形，
∴

DE

EF

=

DC

CF

或

DE

EF

=

CF

DC

，
即

4

3-x

=

4

x

或

4

3-x

=

x

4

，
整理得，8x=12或x²-3x+16=0（無解），
解得x=

3

2

；
綜上所述，CF的值為

5

3

或

3

2

．
故答案為：

5

3

或

3

2

．

點評：本題考查了相似三角形的性質，矩形的性質，主要利用了相似三角形的對應邊成比例的性質，難點在于根據相似三角形的鄰邊的比列出方程并討論求解．