Question

（2012•廣元）如圖，AB是⊙O的直徑，C是AB延長線上一點，CD與⊙O相切于點E，AD⊥CD于點D．
（1）求證：AE平分∠DAC；
（2）若AB=3，∠ABE=60°．
①求AD的長；
②求出圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析：（1）連接OE，由切線的性質可知，OE⊥CD，再根據AD⊥CD可知AD∥OE，故∠DAE=∠AEO，再由OA=OE可知∠EAO=∠AEO，故∠DAE=∠EAO，故可得出結論；
（2）①先根據∠ABE=60°求出∠EAO的度數，進而得出∠DAE的度數，再根據銳角三角函數的定義求出AE及BE的長，在Rt△ADE中利用銳角三角函數的定義即可得出AD的長；
②由三角形內角和定理求出∠AOE的度數，再根據OA=OB可知S_△AOE=S_△BOE=

1

2

S_△ABE求出△AOE的面積，由S_陰影=S_扇形AOE-S_△AOE即可得出結論．

解答：解：（1）連接OE．
∵CD是⊙O的切線，
∴OE⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴AD∥OE，
∴∠DAE=∠AEO，
∵OA=OE，
∴∠EAO=∠AEO，
∴∠DAE=∠EAO，
∴AE平分∠DAC；

（2）①∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AEB=90°，
∵∠ABE=60°，
∴∠EAO=30°，
∴∠DAE=∠EAO=30°，
∵AB=3，
∴AE=AB•cos30°=3×

3

2

=

3 3

2

，BE=

1

2

AB=

3

2

，
在Rt△ADE中，
∵∠DAE=30°，AE=

3 3

2

，
∴AD=AE•cos30°=

3 3

2

×

3

2

=

9

4

；
②∵∠EAO=∠AEO=30°，
∴∠AOE=180°-∠EAO-∠AEO=180°-30°-30°=120°，
∵OA=OB，
∴S_△AOE=S_△BOE=

1

2

S_△ABE，
∴S_陰影=S_扇形AOE-S_△AOE=S_扇形AOE-

1

2

S_△ABE=

120π×( 3 2 )2

360

-

1

2

×

1

2

×

3 3

2

×

3

2

=

3π

4

-

9 3

16

．

點評：本題考查的是切線的性質及扇形面積的計算，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形，利用直角三角形的性質求解是解答此題的關鍵．