Question

【題目】已知：點A在射線CE上，∠C＝∠D．

⑴如圖1，若AD∥BC，求證：BD∥AC；

⑵如圖2，若∠BAC＝∠BAD，BD⊥BC，請探究∠DAE與∠C的數量關系，寫出你的探究結論，并加以證明；

⑶如圖3，在⑵的條件下，過點D作DF∥BC交射線于點F，當∠DFE＝8∠DAE時，求∠BAD的度數．

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）∠DAE+2∠C=90 ；（3）99°

【解析】

（1）根據AC∥BD，可得∠DAE=∠D，再根據∠C=∠D，即可得到∠DAE=∠C，進而判定AD∥BC；
（2）根據∠CGB是△ADG是外角，即可得到∠CGB=∠D+∠DAE，再根據△BCG中，∠CGB+∠C=90°，即可得到∠D+∠DAE+∠C=90°，進而得出2∠C+∠DAE=90°；
（3）設∠DAE=α，則∠DFE=8α，∠AFD=180°-8α，根據DF∥BC，即可得到∠C=∠AFD=180°-8α，再根據2∠C+∠DAE=90°，即可得到2（180°-8α）+α=90°，求得α的值，即可運用三角形內角和定理得到∠BAD的度數．

解：（1）∵AC∥BD，

∴∠DAE=∠D，

又∵∠C=∠D，

∴∠DAE=∠C，

∴AD∥BC；

（2）∠EAD+2∠C=90°．

證明：設CE與BD交點為G，

∵∠CGB是△ADG是外角，

∴∠CGB=∠D+∠DAE，

∵BD⊥BC，

∴∠CBD=90°，

∴△BCG中，∠CGB+∠C=90°，

∴∠D+∠DAE+∠C=90°，

又∵∠D=∠C，

∴2∠C+∠DAE=90°；

（3）設∠DAE=α，則∠DFE=8α，

∵∠DFE+∠AFD=180°，

∴∠AFD=180°﹣8α，

∵DF∥BC，

∴∠C=∠AFD=180°﹣8α，

又∵2∠C+∠DAE=90°，

∴2（180°﹣8α）+α=90°，

∴α=18°，

∴∠C=180°﹣8α=36°=∠ADB，

又∵∠C=∠BDA，∠BAC=∠BAD，

∴∠ABC=∠ABD=∠CBD=45°，

∴△ABD中，∠BAD=180°﹣45°﹣36°=99°．