Question

【題目】如圖，為的內接三角形，為的直徑，過點作的切線交的延長線于點．

（1）求證：；

（2）過點作的切線交于點，求證：；

（3）若點為直徑下方半圓的中點，連接交于點，且，，求的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）．

【解析】

（1）利用AB是圓O的直徑和AD是圓O的切線判斷出∠ACD=∠DAB=90°，即可得出結論；

（2）利用切線長定理判斷出AE=CE，從而得到∠DAC=∠EAC，再用等角的余角相等判斷出∠D=∠DCE，得出DE=CE，即可得到結論；

（3）先求出tan∠ABD的值，進而得出GH=2CH，進而得到BC=3BH，再求出BC建立方程求BH，從而求出GH.

（1）∵AB是⊙O直徑，∴∠ACD＝∠ACB＝90°．

∵AD是⊙O的切線，∴∠BAD＝90°，∴∠ACD＝∠DAB＝90°．

∵∠D＝∠D，∴△DAC∽△DBA；

（2）∵EA，EC是⊙O的切線，∴AE＝CE（切線長定理），∴∠DAC＝∠ECA．

∵∠ACD＝90°，∴∠ACE+∠DCE＝90°，∠DAC+∠D＝90°，∴∠D＝∠DCE，∴DE＝CE，∴AD＝AE+DE＝CE+CE＝2CE，∴CEAD；

（3）如圖，在Rt△ABD中，AD＝6，AB＝3，∴tan∠ABD2，過點G作GH⊥BD于H，∴tan∠ABD2，∴GH＝2BH．

∵點F是直徑AB下方半圓的中點，∴∠BCF＝45°，∴∠CGH＝∠CHG﹣∠BCF＝45°，∴CH＝GH＝2BH，∴BC＝BH+CH＝3BH．在Rt△ABC中，tan∠ABC2，∴AC＝2BC，根據勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，∴4BC2+BC2＝9，∴BC，∴3BH，∴BH，∴GH＝2BH．在Rt△CHG中，∠BCF＝45°，∴CGGH．