Question

【題目】在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，以斜邊AB為邊向Rt△AEB形外作正方形ABCD，若正方形ABCD的對角線交于點O（如圖1）．

（1）求證：EO平分∠AEB；

（2）猜想線段OE與EB、EA之間的數量關系為　 　（直接寫出結果，不要寫出證明過程）；

（3）過點C作CF⊥EB于F，過點D作DH⊥EA于H，CF和DH的反向延長線交于點G（如圖2），求證：四邊形EFGH為正方形．

Answer 1

【答案】（1）求證見解析；（2）OE＝EB+EA；（3）見解析．

【解析】

（1）延長EA至點F，使AF＝BE，連接OF，由SAS證得△OBE≌△OAF，得出OE＝OF，∠BEO＝∠AFO，由等腰三角形的性質與等量代換即可得出結論；

（2）判斷出△EOF是等腰直角三角形，根據勾股定理即可得出結論；

（3）先根據ASA證得△ABE≌△ADH，△ABE≌△BCF，△ADH≌△DCG，△DCG≌△CBF，得出FG＝EF＝EH＝HG，再由∠F＝∠H＝∠AEB＝90°，由此可得出結論．

（1）證明：延長EA至點F，使AF＝BE，連接OF，如圖所示：

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BOA＝90°，OB＝OA，

∵∠AEB＝90°，

∴∠OBE+∠OAE＝360°﹣90°﹣90°＝180°，

∵∠OAE+∠OAF＝180°，

∴∠OBE＝∠OAE，在△OBE與△OAF中，

，

∴△OBE≌△OAF（SAS），

∴OE＝OF，∠BEO＝∠AFO，

∴∠AEO＝∠AFO，

∴∠BEO＝∠AEO，

∴EO平分∠AEB；

（2）解：OE＝EB+EA，理由如下：

由（1）得：△OBE≌△OAF，

∴OE＝OF，∠BOE＝∠AOF，

∵∠BOE+∠AOE＝90°，

∴∠AOF+∠AOE＝90°，

∴∠EOF＝90°，

∴△EOF是等腰直角三角形，

∴2OE2＝EF2，

∵EF＝EA+AF＝EA+EB，

∴2OE2＝（EB+EA）2，

∴OE＝EB+EA，

故答案為：OE＝EB+EA；

（3）證明：∵CF⊥EB，DH⊥EA，

∴∠F＝∠H＝∠AEB＝90°，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝AD，∠BAD＝90°，

∴∠EAB+∠DAH＝90°，∠EAB+∠ABE＝90°，∠ADH+∠DAH＝90°，

∴∠EAB＝∠HDA，∠ABE＝∠DAH．

在△ABE與△ADH中，

，

∴△ABE≌△ADH（ASA），

∴BE＝AH，AE＝DH，

同理可得：△ABE≌△BCF，△ADH≌△DCG，△DCG≌△CBF，

∴BE＝CF，AE＝BF，AH＝DG，DH＝CG，DG＝CF，CG＝BF，

∴CG+FC＝BF+BE＝AE+AH＝DH+DG，

∴FG＝EF＝EH＝HG，

∵∠F＝∠H＝∠AEB＝90°，

∴四邊形EFGH為正方形．