Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，D是弧BC的中點，過點D作⊙O的切線交AC的延長線于點E，DE＝4，CE＝2.

(1)求證：DE⊥AE；

(2)求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）5

【解析】

（1）如圖，連接AD，OD，由題意得DE⊥OD，易得∠2＝∠3，因為D是弧BC的中點，所以∠1＝∠2，即∠1＝∠3，根據平行線的判定得OD∥AE，即得證DE⊥AE；

（2）如圖，過點O作OF⊥AE于點F，易知四邊形ODEF為矩形，設⊙O的半徑為x，則AF＝CF＝EF－CE＝x－2，在Rt△AFO中，利用勾股定理得到關于x的方程(x－2)2＋42＝x2，然后求解方程即可.

(1)證明：如圖，連接AD，OD，

∵DE是⊙O的切線，

∴DE⊥OD，

∵OA＝OD，

∴∠2＝∠3，

∵D是弧BC的中點，

∴∠1＝∠2，

∴∠1＝∠3，

∴OD∥AE，

∴DE⊥AE；

(2)解：如圖，過點O作OF⊥AE于點F，易知四邊形ODEF為矩形，

∴OF＝DE＝4，EF＝OD，

∵OF⊥AC，

∴AF＝CF，

設⊙O的半徑為x，

則AF＝CF＝EF－CE＝x－2，

在Rt△AFO中，AF2＋OF2＝AO2，

即(x－2)2＋42＝x2，

解得x＝5，

∴⊙O的半徑為5.