Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知點F（2 ，0），直角GF交y軸正半軸于點G，且∠GFO=30°．

（1）請直接寫出點G的坐標；
（2）若⊙O的半徑為1，點P是直線GF上的動點，直線PA、PB分別與⊙O相切于點A、B．
①求切線長PB的最小值；
②在直線GF上是否存在點P，使得∠APB=60°？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵F（2 ，0），

∴OF=2 ，

∵∠GFO=30°，

∴OG=2，

∴點G的坐標是（0，2）

（2）解：①連接OPOP，如圖，

∵PB切⊙OO于點BB，

∴OB⊥PB，

根據(jù)勾股定理得PB2=OP2﹣OB2，

∵OB=1，

∴要使BP的值最小，則需OP的值最小，當OP⊥GF時，線段PO最短，

在Rt△PFO，OF=2 ，∠GFO=30°，

∴OP= ，

∴PB= = = ；

②存在，

∵PA、PB均與⊙O相切，

∴OP平分∠APB，

∵∠APB=60°，

∴∠OPB=30°，

∵OB=1，∴OP=2，

∴點P是以點O為圓心，2為半徑的圓與直線GF的交點，

即圖中的P1、P2兩點，連接OP2，

∵OG=2，

∴點P1與點G（0，2）重合，即P1（0，2），

在Rt△GOF中，∠GFO=30°，

∴∠OGF=60°，

∵OG=OP2，

∴△GOP2是等邊三角形，

∴GP2=OG=2，已知GF=4，

∴FP2=2，

∴P2為GF的中點，

∴P2（ ，1），

綜上所述，滿足條件的點P的坐標為（0，2）或（ ，1）．

【解析】（1）由已知條件得到OF=2 ，解直角三角形即可得到結論；（2）①連接OPOP，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OB⊥PB，當OP⊥GF時，線段PO最短，解直角三角形得到OP= ，PB= = =2；
②根據(jù)切線的性質(zhì)和角平分線的定義得到∠OPB=30°，求得OP=2，點P是以點O為圓心，2為半徑的圓與直線GF的交點，由于點P1與點G（0，2）重合，即P1（0，2），推出△GOP2是等邊三角形求得FP2=2，即可得到結論．