Question

【題目】如圖，已知矩形OABC中，OA=2，AB=4，雙曲線（k＞0）與矩形兩邊AB、BC分別交于E、F.

（1）若E是AB的中點(diǎn)，求F點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）若將△BEF沿直線EF對(duì)折，B點(diǎn)落在x軸上的D點(diǎn)，作EG⊥OC，垂足為G，請(qǐng)證明△EGD∽△DCF，并求出k的值.

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)F的坐標(biāo)為（4，1）；（2）證明見(jiàn)解析，k=3．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)點(diǎn)E是AB中點(diǎn)，可求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式可求出k的值，再由點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為4，可求出點(diǎn)F的縱坐標(biāo)，繼而得出答案；

（2）證明∠GED=∠CDF，然后利用兩角法可判斷△EGD∽△DCF，設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)為（，2），點(diǎn)F坐標(biāo)為（4，），即可得CF=，BF=DF=2﹣，在Rt△CDF中表示出CD，利用對(duì)應(yīng)邊成比例可求出k的值．

試題解析：（1）∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，OA=2，AB=4，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，2），

將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入y=，可得k=4，

即反比例函數(shù)解析式為：y=，

∵點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為4，

∴點(diǎn)F的縱坐標(biāo)==1，

故點(diǎn)F的坐標(biāo)為（4，1）；

（2）由折疊的性質(zhì)可得：BE=DE，BF=DF，∠B=∠EDF=90°，

∵∠CDF+∠EDG=90°，∠GED+∠EDG=90°，

∴∠CDF=∠GED，

又∵∠EGD=∠DCF=90°，

∴△EGD∽△DCF，

結(jié)合圖形可設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)為（，2），點(diǎn)F坐標(biāo)為（4，），

則CF=，BF=DF=2﹣，ED=BE=AB﹣AE=4﹣，

在Rt△CDF中，CD=，

∵，即，

∴=1，

解得：k=3．