Question

【題目】如圖，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于點M，CN⊥AB于點N，P為BC邊的中點，連接PM，PN，則下列結論：①PM=PN；②；③△PMN為等邊三角形；④當∠ABC=45°時，BN=PC．其中正確的個數是（　　）

A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個

Answer 1

【答案】D

【解析】分析：根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可判斷①正確；

先證明△ABM∽△ACN，再根據相似三角形的對應邊成比例可判斷②正確；

先根據直角三角形兩銳角互余的性質求出∠ABM=∠ACN=30°，再根據三角形的內角和定理求出∠BCN+∠CBM=60°，然后根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和求出∠BPN+∠CPM=120°，從而得到∠MPN=60°，又由①得PM=PN，根據有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形可判斷③正確；

當∠ABC=45°時，∠BCN=45°，由P為BC邊的中點，得出BN=PB=PC，判斷④正確．

詳解：①∵BM⊥AC于點M，CN⊥AB于點N，P為BC邊的中點，∴PM=BC，PN=BC，∴PM=PN，正確；

②在△ABM與△ACN中．

∵∠A=∠A，∠AMB=∠ANC=90°，∴△ABM∽△ACN，∴，正確；

③∵∠A=60°，BM⊥AC于點M，CN⊥AB于點N，∴∠ABM=∠ACN=30°．在△ABC中，∠BCN+∠CBM═180°﹣60°﹣30°×2=60°．

∵點P是BC的中點，BM⊥AC，CN⊥AB，∴PM=PN=PB=PC，∴∠BPN=2∠BCN，∠CPM=2∠CBM，∴∠BPN+∠CPM=2（∠BCN+∠CBM）=2×60°=120°，∴∠MPN=60°，∴△PMN是等邊三角形，正確；

④當∠ABC=45°時．

∵CN⊥AB于點N，∴∠BNC=90°，∠BCN=45°，∴BN=CN．

∵P為BC邊的中點，∴PN⊥BC，△BPN為等腰直角三角形

∴BN=PB=PC，正確．

故選D．