Question

【題目】已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，AC為對角線，E是邊AD上一點，BE⊥AC交AC于點F，BE、CD的延長線交于點G，且∠ABE＝∠CAD．

（1）求證：四邊形ABCD是矩形；

（2）如果AE＝EG，求證：AC2＝BCBG．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)見解析.

【解析】

(1)、因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以只要證明∠BAD=90°，即可得到四邊形ABCD是矩形；(2)、連接AG，由平行四邊形的性質和矩形的性質以及結合已知條件可證明△BCG∽△ABC，再由相似三角形的性質：對應邊的比值相等即可證明AC2=BCBG．

(1)、解：證明： ∵BE⊥AC， ∴∠AFB=90°．

∴∠ABE+∠BAF=90°． ∵∠ABE=∠CAD． ∴∠CAD+∠BAF=90°． 即∠BAD=90°．

∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴四邊形ABCD是矩形；

(2)、解：連接AG． ∵AE=EG， ∴∠EAG=∠EGA， ∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，AD∥BC， ∴∠ABG=∠BGC， ∴∠CAD=∠BGC， ∴∠AGC=∠GAC，

∴CA=CG， ∵AD∥BC， ∴∠CAD=∠ACB， ∴∠ACB=∠BGC，

∵四邊形ABCD是矩形， ∴∠BCG=90°， ∴∠BCG=∠ABC， ∴△BCG∽△ABC，

∴ ， ∴AC2=BCBG．