Question

（2013•上海模擬）如圖，在半徑為1的扇形AOB中，∠AOB=90°，點P是

AB

上的一個動點（不與點A、B重合），PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分別為點C、D，點E、F、G、H分別是線段OD、PD、PC、OC的中點，EF與DG相交于點M，HG與EC相交于點N，聯結MN．如果設OC=x，MN=y，那么y關于x的函數解析式及函數定義域為

y=-

1

3

x²+

4

9

（o＜x＜1）

．

Answer 1

分析：建立平面直角坐標系，連接OP交MN于R，交MG于Z，交CE于Q，根據三角形中位線求出EF∥OP∥GH，求出DM=MZ=ZG，EQ=QN=CN，求出E的坐標，即可求出M、N的坐標，根據勾股定理求出MN，即可得出答案．

解答：解：
如圖，建立平面直角坐標系，連接OP交MN于R，交MG于Z，交CE于Q，
∵點E、F、G、H分別是線段OD、PD、PC、OC的中點，
∴EF∥OP，GH∥OP，
∴DM=MZ，GZ=MZ，
∴DM=MZ=ZG，
同理EQ=QN=CN，
在Rt△OPC中，OC=x，OP=1，由勾股定理得：OD=CP=

1-x2

，
∴E的坐標是（0，

1

2

1-x2

），
∵CN=NQ=EQ，OC=x，
∴N的橫坐標是

2

3

OC=

2

3

x，N的縱坐標是

1

3

OE=

1

6

1-x2

，M的橫坐標是x-

2

3

x=

1

3

x，縱坐標是OE-

1

6

1-x2

=

5

6

1-x2

即N（

2

3

x，

1

6

1-x2

），M（

1

3

x，

5

6

1-x2

），
由勾股定理得：MN=（

2

3

x-

1

3

x）²+[

1

6

1-x2

-

5

6

1-x2

）²，
即y=-

1

3

x²+

4

9

，x的范圍是：O＜x＜1．
故答案為：y=-

1

3

x²+

4

9

（0＜x＜1）．

點評：本題考查了平行線分線段成比例定理，三角形的中位線，勾股定理等知識點的應用，主要考查學生綜合運用性質進行推理和計算的能力，有一定的難度．