Question

（2013•上海模擬）已知：如圖，在△ABC中，AD⊥BC，D點為垂足，AC⊥BE，E點為垂足，M點為AB邊的中點，聯結ME、MD、ED．
（1）求證：△MED與△BMD都是等腰三角形；
（2）求證：∠EMD=2∠DAC．

Answer 1

分析：（1）根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出ME=MD，從而得到△MED是等腰三角形，再根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出MD=BM，從而得到△BMD是等腰三角形；
（2）根據等邊對等角的性質可得∠MAE=∠MEA，再根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和得到∠BME=2∠MAE，同理求出∠BMD=2∠MAD，然后根據∠EMD=∠BME-∠BMD整理即可得解．

解答：證明：（1）∵M為AB邊的中點，AD⊥BC，BE⊥AC，
∴ME=

1

2

AB，MD=

1

2

AB，
∴ME=MD，
∴△MED為等腰三角形；
∵M為AB邊的中點，AD⊥BC，
∴MD=BM=

1

2

AB，
∴△BMD都是等腰三角形；

解：（2）∵ME=

1

2

AB=MA，
∴∠MAE=∠MEA，
∴∠BME=2∠MAE，
同理可得：MD=

1

2

AB=MA，
∴∠MAD=∠MDA，
∴∠BMD=2∠MAD，
∵∠EMD=∠BME-∠BMD，
=2∠MAE-2∠MAD=2∠DAC．

點評：本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質，等邊對等角的性質，以及三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，熟記各性質并準確識圖是解題的關鍵．