Question

【題目】如圖，已知在△ABC中，BC=AC，以BC為直徑的⊙O與邊AB、AC分別交于點D、E，DF⊥AC于點F．

（1）求證：點D是AB的中點；

（2）判斷DF與⊙O的位置關系，并證明你的結論；

（3）若⊙O的半徑為10，sinB=，求陰影部分面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）DF與⊙O相切（3）

【解析】

（1）連接CD，根據直徑所對的圓周角為90°得∠BDC=90°，再由等腰三角形的三線合一得出結論；
（2）根據中位線的定義可以知道：OD是△ABC的中位線，則OD∥AC，因為DF⊥AC，所以DF⊥OD，得出DF與 O相切；
（3）如圖3，連接OE、BE，先根據特殊的三角函數值求出∠ABC=60°，所以△ABC是等邊三角形，求出直角△BEC各邊的長，就可以求其面積，根據中線的性質可知△OEC的面積就是△BEC面積的-半，所求的陰影面積是扇形面積與△OEC的面積的差．

（1）連接CD

∵BC是⊙O的直徑，

∴∠BDC=90°

又∵AC=BC，∴點D是AB的中點；

（2）DF與⊙O相切，

如圖2，連接OD

∵O是BC的中點，點D是AB的中點，

∴OD是△ABC的中位線，

∴OD∥AC

又∵DF⊥AC，

∴DF⊥OD，且OD是半徑

∴DF與⊙O相切；

（3）如圖3，連接OE，作OM⊥AC

∵sin∠ABC=，

∴∠ABC=60°

又∵AC=BC，

∴△ABC是等邊三角形

∴∠C=60°

又∵OE=OC

∴△OEC是等邊三角形

∴EC=OC=10，∠EOC=60°

∵OM⊥AB，∠ACB=60°

∴MC=5，OM=MC=5

∴S△OEC=×EC×OM=25

∴S陰影=S扇形OEC﹣S△OEC=﹣25=﹣25