Question

【題目】已知拋物線與x軸的交點坐標分別為A（1，0），B（x2，0）（點B在點A的右側），其對稱軸是x=3，該函數有最小值是﹣2．

（1）求二次函數解析式；

（2）在圖1上作平行于x軸的直線，交拋物線于C（x3，y3），D（x4，y4），求x3+x4的值；

（3）將（1）中函數的部分圖象（x＞x2）向下翻折與原圖象未翻折的部分組成圖象“G”，如圖2，在（2）中平行于x軸的直線取點E（x5，y5）、（x4＜x5），結合函數圖象求x3+x4+x5的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) y=（x﹣3）2﹣2．（2）x3+x4=6．（3）11＜x3+x4+x5＜9+2．

【解析】

（1）利用二次函數解析式的頂點式求得結果即可；

（2）根據二次函數圖象的對稱性質解答；

（3）由已知條件可知直線與圖象“G”要有3個交點．

分類討論：分別求得平行于x軸的直線與圖象“G”有2個交點、1個交點時x3+x4+x5的取值范圍，易得直線與圖象“G”要有3個交點時x3+x4+x5的取值范圍．

（1）由上述信息可知該函數圖象的頂點坐標為：（3，﹣2），設二次函數的表達式為：y=a（x﹣3）2﹣2．

∵該函數圖象經過點A（1，0），∴0=a（x﹣3）2﹣2，解得：a=，∴二次函數解析式為：y=（x﹣3）2﹣2．

（2）由二次函數圖象的對稱性質得出當縱坐標相等時，x3+x4=6．

（3）由已知條件可知直線與圖象“G”要有3個交點．

①當直線與x軸重合時，有2個交點，由二次函數圖象的軸對稱性質可求x3+x4+x5＞11．

②當直線經過y=（x﹣3）2﹣2的圖象頂點時，有2個交點，由翻折可以得到翻折后函數圖象為y=﹣（x﹣3）2+2．

令﹣（x﹣3）2+2=﹣2時，解得：x=3±2，其中x=3﹣2（舍去），∴x3+x4+x5＜9+2．

綜上所述：11＜x3+x4+x5＜9+2．