Question

【題目】如圖，已知△PDC是⊙O的內接三角形，CP=CD，若將△PCD繞點P順時針旋轉，當點C剛落在⊙O上的A處時，停止旋轉，此時點D落在點B處．

（1）求證：PB與⊙O相切；

（2）當PD=2，∠DPC=30°時，求⊙O的半徑長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）2．

【解析】

（1）連接OA、OP，由旋轉可得：△PAB≌△PCD，再由全等三角形的性質可知AP=PC=DC，再根據∠BPA=∠DPC=∠D可得出∠BPO=90°，進而可知PB與⊙O相切；
（2）過點A作AE⊥PB，垂足為E，根據∠BPA=30°，PB=2，△PAB是等腰三角形，可得出BE=EP=，PA=2，PB與⊙O相切于點P可知∠APO=60°，故可知PA=2．

（1）證明：連接OA、OP，OC，由旋轉可得：△PAB≌△PCD，

∴PA=PC=DC，

∴AP=PC=DC，∠AOP=∠POC=2∠D，∠APO=∠OAP=，

又∵∠BPA=∠DPC=∠D，

∴∠BPO=∠BPA+=90°

∴PB與⊙O相切；

（2）解：過點A作AE⊥PB，垂足為E，

∵∠BPA=30°，PB=2，△PAB是等腰三角形；

∴BE=EP=，

PA===2

又∵PB與⊙O相切于點P，

∴∠APO=60°，

∴OP=PA=2．