Question

在Rt△ABC，∠C=90°，D為AB邊上一點，點M、N分別在BC、AC邊上，且DM⊥DN．作MF⊥AB于點F，NE⊥AB于點E．

（1）特殊驗證：如圖1，若AC=BC，且D為AB中點，求證：DM=DN，AE=DF；
（2）拓展探究：若AC≠BC．
①如圖2，若D為AB中點，（1）中的兩個結論有一個仍成立，請指出并加以證明；
②如圖3，若BD=kAD，條件中“點M在BC邊上”改為“點M在線段CB的延長線上”，其它條件不變，請探究AE與DF的數量關系并加以證明．

Answer 1

解：（1）證明：若AC=BC，則△ABC為等腰直角三角形，
如圖，連接OD，則CD⊥AB，

又∵DM⊥DN，∴∠1=∠2。
在△AND與△CDM中，，
∴△AND≌△CDM（ASA）。∴DM=DN。
∵∠4+∠1=90°，∠1+∠3=90°，∴∠4=∠3。
∵∠1+∠3=90°，∠3+∠5=90°，∴∠1=∠5。
在△NED與△DFM中，，
∴△NED≌△DFM（ASA）。∴NE=DF。
∵△ANE為等腰直角三角形，∴AE=NE。∴AE=DF。
（2）①答：AE=DF。證明如下：
由（1）證明可知：△DEN∽△MFD，∴，即MF•EN=DE•DF。
同理△AEN∽△MFB，∴，即MF•EN=AE•BF。
∴DE•DF=AE•BF。∴（AD﹣AE）•DF=AE•（BD﹣DF）。
∴AD•DF=AE•BD。∴AE=DF。
②答：DF=kAE。證明如下：
由①同理可得：DE•DF=AE•BF，
∴（AE﹣AD）•DF=AE•（DF﹣BD）。∴AD•DF=AE•BD。
∵BD=kAD，∴DF=kAE。

解析試題分析：（1）如圖，連接CD，證明△AND≌△CDM，可得DM=DN；證明△NED≌△DFM，可得DF=NE，從而得到AE=NE=DF。
（2）①若D為AB中點，則分別證明△DEN∽△MFD，△AEN∽△MFB，由線段比例關系可以證明AE=DF結論依然成立。
②若BD=kAD，證明思路與①類似。