Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=4，點M是AD的中點，△MBC是等邊三角形．

（1）求證：梯形ABCD是等腰梯形；
（2）動點P、Q分別在線段BC和MC上運動，且∠MPQ=60°保持不變．設PC=x，MQ=y，求y與x的函數關系式；
（3）在（2）中：
①當動點P、Q運動到何處時，以點P、M和點A、B、C、D中的兩個點為頂點的四邊形是平行四邊形？并指出符合條件的平行四邊形的個數；
②當y取最小值時，判斷△PQC的形狀，并說明理由．

Answer 1

(1)見解析；（2）y=﹣x+4．
（2）①當BP=1，MQ=或BP=3，符合條件的平行四邊形的個數有4個．②△PQC是直角三角形．

解析試題分析：（1）要證梯形ABCD是等腰梯形，只需證△AMB≌△DMC．
（2）由△BMP∽△CQP，可得到BP與CQ的關系，從而轉化成y與x的函數關系式．
（3）先利用二次函數求最值，求出y取最小值時x的值和y的最小值，從而確定P、Q的位置，判斷出△PQC的形狀．
試題解析：
（1）證明：∵△MBC是等邊三角形，
∴MB=MC，∠MBC=∠MCB=60°．
∵M是AD中點，
∴AM=MD．
∵AD∥BC，
∴∠AMB=∠MBC=60°，∠DMC=∠MCB=60°．
∴△AMB≌△DMC．
∴AB=DC．
∴梯形ABCD是等腰梯形．
（2）在等邊△MBC中，MB=MC=BC=4，∠MBC=∠MCB=60°，∠MPQ=60°，
∴∠BMP+∠BPM=∠BPM+∠QPC=120°．
∴∠BMP=∠QPC．
∴△BPM∽△CQP．
∴．
∵PC=x，MQ=y，
∴BP=4﹣x，QC=4﹣y．
∴．
∴y=﹣x+4．（8分）

（3）①當BP=1時，則有BPAM，BPMD，
則四邊形ABPM為平行四邊形，
∴MQ=y=×3²﹣3+4=．（8分）
當BP=3時，則有PCAM，PCMD，
則四邊形MPCD為平行四邊形，
∴MQ=y=×1²﹣1+4=．（9分）
∴當BP=1，MQ=或BP=3，MQ=時，
以P、M和A、B、C、D中的兩個點為頂點的四邊形是平行四邊形．此時平行四邊形有2個．
故符合條件的平行四邊形的個數有4個．
②△PQC為直角三角形．
∵y=（x﹣2）²+3，
∴當y取最小值時，x=PC=2．
∴P是BC的中點，MP⊥BC，而∠MPQ=60°，
∴∠CPQ=30°，
∴∠PQC=90°．
∴△PQC是直角三角形．
考點：1.等腰梯形的判定；2.二次函數的最值；3.等邊三角形的性質．