Question

【題目】如圖1，小紅家陽臺上放置了一個曬衣架．如圖2是曬衣架的側面示意圖，立桿AB、CD相交于點O，B、D兩點立于地面，經測量：AB=CD=136cm，OA=OC=51cm，OE=OF=34cm，現將曬衣架完全穩固張開，扣鏈EF成一條直線，且EF=32cm．

（1）求證：AC∥BD；

（2）求扣鏈EF與立桿AB的夾角∠OEF的度數（精確到0.1°）；

（3）小紅的連衣裙穿在衣架后的總長度達到122cm，垂掛在曬衣架上是否會拖落到地面？請通過計算說明理由．

（參考數據：sin61.9°≈0.882，cos61.9°≈0.471，tan61.9°≈0.553；可使用科學計算器）

Answer 1

【答案】（1）證明參見解析；(2) 61.9°；(3) 小紅的連衣裙會拖落到地面．理由參見解析.

【解析】

試題分析：（1）根據等角對等邊和對頂角相等得出∠OAC=∠OCA=（180-∠AOC）和∠OBD=∠ODB=（180-∠BOD），∠AOC=∠BOD進而利用平行線的判定得出即可；或利用三角形相似和平行線判定可得出結論；（2）首先過點O作OM⊥EF于點M，則EM=16cm，利用cos∠OEF=0.471，即可得出∠OEF的度數；（3）首先證明Rt△OEM∽Rt△ABH，進而得出AH的長即可．

試題解析：（1）方法一：∵AB、CD相交于點O，∴∠AOC=∠BOD，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=（180-∠AOC），同理可證：∠OBD=∠ODB=（180-∠BOD），∴∠OAC=∠OBD，∴AC∥BD；方法二：AB=CD=136cm，OA=OC=51cm，∴OB=OD=85cm，∴，又∵∠AOC=∠BOD，∴△AOC∽△BOD， ∴∠OAC=∠OBD；∴AC∥BD；（2）在△OEF中，OE=OF=34cm，EF=32cm；過點O作OM⊥EF于點M，則EM=16cm；∴cos∠OEF=

0.471，用科學計算器求得∠OEF=61.9°；（3）方法一：小紅的連衣裙會拖落到地面；在Rt△OEM中，OM== =30cm，過點A作AH⊥BD于點H，同（1）可證：EF∥BD，∴∠ABH=∠OEM，則Rt△OEM∽Rt△ABH，∴,AH=cm，因為小紅的連衣裙垂掛在衣架后的總長度122cm＞曬衣架的高度AH=120cm．所以小紅的連衣裙會拖落到地面．方法二：小紅的連衣裙會拖落到地面；同（1）可證：EF∥BD，∴∠ABD=∠OEF=61.9°；過點A作AH⊥BD于點H，在Rt△ABH中sin∠ABD=，AH=AB×sin∠ABD=136×sin61.9°=136×0.882≈120.0cm，因為小紅的連衣裙垂掛在衣架后的總長度122cm＞曬衣架的高度AH=120cm．所以小紅的連衣裙會拖落到地面．