Question

【題目】在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，M是AD邊的中點，P是AB邊上的一個動點（不與A、B重合），PM的延長線交射線CD于Q點，MN⊥PQ交射線BC于N點。

（1）若點N在BC之間時，如圖：

①求證：∠NPQ＝∠PQN；

②請問是否為定值？若是定值，求出該定值；若不是，請舉反例說明；

（2）當△PBN與△NCQ的面積相等時，求AP的值.

Answer 1

【答案】（1）①證明見解析；②是定值，理由見解析；（2）AP＝6

【解析】分析：(1)、①由矩形的性質證明△APM≌△QDM就可以得出PPM=QM，再由MN⊥PQ就可以得出結論；②作ME⊥BC于E，證明△AMP∽△EMN，由相似三角形的性質既可以求出PM與MN的關系，再由勾股定理表示出PN就可以求出結論；(2)、分兩種情況，如圖2，如圖3，作BF⊥PN于F，CG⊥QN于G，作中線BS、CT，通過證明Rt△BFS≌Rt△CGT和△PBN≌△QCN，進一步由全等三角形的性質就可以得出結論．

詳解：解（1）①證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADC＝∠ADQ＝90°，

AB//CD，∴∠APM＝∠DQM， ∵M是AD邊的中點，∴AM＝DM，

在△APM和△DQM中，，∴△APM≌△DQM（AAS），∴PM＝QM，

∵MN⊥PQ，∴MN是線段PQ的垂直平分線，∴PN＝QN，∴∠NPQ＝∠PQN；

②解：是定值

理由：如圖①，過點M作ME⊥BC于點E，∴∠MEN＝∠MEB＝∠AME＝90°，

∴四邊形ABEM是矩形，∠MEN＝∠MAP，∴AB＝EM，

∵MN⊥PQ，∴∠PMN＝90°，∴∠PMN＝∠AME，

∴∠PMN－∠PME＝∠AME－∠PME，∴∠EMN＝∠AMP， ∴△AMP∽△EMN，

∴，∴，∵AD＝12，M是AD邊的中點，∴AM＝AD＝6，

∵AB＝8，∴；

圖① 圖② 圖③

（2）解：分點N在BC之間和點N在BC延長線上兩種情況

（ⅰ）當點N在BC之間時，如圖②，作BF⊥PN于點F，CG⊥QN于點G，再分別作Rt△PBN和Rt△NCQ的中線BS、CT， ∴∠BFS＝∠CGT＝90°，BS＝PN，CT＝QN，

∵PN＝QN，S△PBN＝S△NCQ，∴BF＝CG，BS＝CT

在Rt△BFS和Rt△CGT中，，∴Rt△BFS≌Rt△CGT（HL），∴∠BSF＝∠CTG，

∴∠BNP＝∠BSF＝∠CTG＝∠CQN，

在△PBN和△NCQ中，，∴△PBN≌△NCQ（AAS），∴BN＝CQ，BP＝CN，

∵AP＝AB－BP＝8－CN，又∵CN＝BC－BN＝12－CQ，∴AP＝CQ－4

又∵CQ＝CD+DQ，DQ＝AP，∴AP＝4+AP（舍去），∴此種情況不成立；

（ⅱ）當點N在BC延長線上時，如圖③，作BF⊥PN于點F，CG⊥QN于點G，再分別作Rt△PBN和Rt△NCQ的中線BS、CT， 同理可得，△PBN≌△NCQ，∴PB＝NC，BN＝CQ，

∵AP＝DQ， ∵AP+8＝DQ+CD＝CQ＝BC+CN＝12+BP，

∴AP－BP＝4 ①， ∵AP+BP＝AB＝8②， ①+②得：2AP＝12，∴AP＝6．