Question

【題目】如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，D在線段BC上，E是線段AD的一點．現以CE為直角邊，C為直角頂點，在CE的下方作等腰直角△ECF，連接BF．

（1）如圖1，求證：AE＝BF；

（2）當A、E、F三點共線時，如圖2，若BF＝2，求AF的長；

（3）如圖3，若∠BAD＝15°，連接DF，當E運動到使得∠ACE＝30°時，求△DEF的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AF＝2；（3）S△EDF＝3﹣3．

【解析】

（1）如圖1中，證明△ACE≌△BCF（SAS）即可解決問題；

（2）利用全等三角形的性質，證明∠ACD=∠DFB=90°，再利用勾股定理即可解決問題；

（3）如圖3中，作FH⊥BC于H．證明△BCF是底角為30°的等腰三角形，求出CF，FB，FH，根據S△EDF=S△ECD+S△CDF-S△ECF計算即可．

（1）證明：如圖1中，

∵△ACB，△ECF都是等腰三角形，

∴CA＝CB，CE＝CF，∠ACB＝∠ECF＝90°，

∴∠ACE＝∠BCF，

∴△ACE≌△BCF（SAS），

∴AE＝BF．

（2）如圖2中，

∵CA＝CB＝6，∠ACB＝90°，

∴AB＝6，

∵△ACE≌△BCF，

∴∠CAD＝∠DBF，

∵∠ADC＝∠BDF，

∴∠ACD＝∠DFB＝90°，

∴AF＝＝＝2．

（3）如圖3中，作FH⊥BC于H．

∵∠ACE＝∠CAE＝30°，

∴AE＝EC，

∵△ACE≌△BCF，

∴BF＝AE，CF＝CE，

∴CF＝BF，∠FCB＝∠CBF＝30°，

∵FC＝FB，FH⊥BC，

∴CH＝BH＝3，FH＝，CF＝BF＝2，

∵∠CED＝∠CAE+∠ACE＝60°，∠ECD＝90°﹣30°＝60°，

∴△ECD是等邊三角形，

∴EC＝CF＝CD＝2，

∴S△EDF＝S△ECD+S△CDF﹣S△ECF＝×（2）2+×2×﹣×2×2＝3﹣3．