Question

【題目】如圖1，△DBE和△ABC都是等腰直角三角形，D，E兩點分別在AB，BC上，∠B=90°．將△DBE繞點B順時針旋轉，得到圖2．

（1）在圖2中，求證：AD=CE；

（2）設AB= ，BD= ，且當A、D、E三點在同一直線上時，∠EAC=30°，請利用備用圖畫出此情況下的圖形，并求旋轉的角度和的值．

Answer 1

【答案】(1)詳見解析；（2）30°，.

【解析】試題分析：由△DBE和△ABC都是等腰直角三角形，可得AB=BC, DB=BE,∠ABD=∠CBE,根據“SAS”可證△ABD≌△CBE,從而AD=CE；

（2）先證△ABD≌△CBE，可求∠ADB=∠CEB=135°，可求∠AEC=90°，進而求出∠BAD=45°-30°=15°，根據三角形內角和即可旋轉角∠ABD的度數；由AE=AD+DE=cos30 ·AC，整理可得的值．

解：(1)∵△DBE和△ABC都是等腰直角三角形，

∴AB=BC, DB=BE,∠ABC=∠DBE=90°,∴∠ABD=90°-∠DBC=∠CBE=90°-∠DBC,

∴△ABD≌△CBE,

∴AD=CE;

(2)如圖, A、D、E三點在同一直線上時，

∵△DBE和△ABC都是等腰直角三角形，

∴∠BAC=∠BDE=∠BED =45°,

又△ABD≌△CBE，∴∠ADB=∠CEB=135°．

∴∠AEC=90°，

∵∠EAC=30°，

∴∠BAD=45°-30°=15°，∴∠ABD=30°，即旋轉角為30°.

∵△DBE和△ABC是等腰直角三角形，AB=, BD=,

∴AC=，DE=,

∵△ABD≌△CBE,

∴AD=EC，

∵∠EAC=30°，∠AEC=90°，AC= ，

∴AD=EC=，

∴AE=AD+DE=+=，

整理得.