Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，矩形OABC如圖所示放置，點A在x軸上，點B的坐標為（n，1）（n＞0），將此矩形繞O點逆時針旋轉90°得到矩形OA′B′C′，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）經過A、A′、C′三點．

（1）求此拋物線的解析式（a、b、c可用含n的式子表示）；

（2）若拋物線對稱軸是x＝1的一條直線，直線y＝kx+2（k≠0）與拋物線相交于兩點D（x1，y1）、E（x2、y2）（x1＜x2），當|x1﹣x2|最小時，求拋物線與直線的交點D和E的坐標；

（3）若拋物線對稱軸是x＝1的一條直線，如圖2，點M是拋物線的頂點，點P是y軸上一動點，點Q是坐標平面內一點，四邊形APQM是以PM為對角線的平行四邊形，點Q′與點Q關于直線CM對稱，連接MQ′、PQ′，當△PMQ′與平行四邊形APQM重合部分的面積是平行四邊形的面積的時，求平行四邊形APQM的面積．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+（n﹣1）x+n；（2）D（﹣1，0），E（1，4）；（3）5或10．

【解析】

（1）先根據四邊形ABCD是矩形，點B的坐標為（n，1）（n＞0），求出點A、C的坐標，再根據圖形旋轉的性質求出A′、C′的坐標；把A、A′、C′三點的坐標代入即可得出a、b、c的值，進而得出其拋物線的解析式；
（2）將一次函數與二次函數組成方程組，得到一元二次方程x2+（k-2）x-1=0，根據根與系數的關系求出k的值，進而求出D（-1，0），E（1，4）；
（3）設P（0，p），根據平行四邊形性質及點M坐標可得Q（2，4+p），分P點在AM下方與P點在AM上方兩種情況，根據重合部分的面積關系及對稱性求得點P的坐標后即可得APQM面積．

解：（1）∵四邊形ABCO是矩形，點B的坐標為（n，1）（n＞0），

∴A（n，0），C（0，1），

∵矩形OA′B′C′由矩形OABC旋轉而成，

∴A′（0，n），C′（﹣1，0）；

將拋物線解析式為y＝ax2+bx+c，

∵A（n，0），A′（0，n），C′（﹣1，0），

∴ ，

解得，

∴此拋物線的解析式為：y＝﹣x2+（n﹣1）x+n；

（2）對稱軸為x＝1，得﹣＝1，解得n＝3，

則拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3．

由，

整理可得x2+（k﹣2）x﹣1＝0，

∴x1+x2＝﹣（k﹣2），x1x2＝﹣1．

∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝（k﹣2）2+4．

∴當k＝2時，（x1﹣x2）2的最小值為4，即|x1﹣x2|的最小值為2，

∴x2﹣1＝0，由x1＜x2可得x1＝﹣1，x2＝1，即y1＝4，y2＝0．

∴當|x1﹣x2|最小時，拋物線與直線的交點為D（﹣1，0），E（1，4）；

（3）①當P點在AM下方時，如答圖1，

設P（0，p），易知M（1，4），從而Q（2，4+p），

∵△PM Q′與APQM重合部分的面積是APQM面積的，

∴PQ′必過AM中點N（0，2），

∴可知Q′在y軸上，

易知QQ′的中點T的橫坐標為1，而點T必在直線AM上，

故T（1，4），從而T、M重合，

∴APQM是矩形，

∵易得直線AM解析式為：y＝2x+2，

∵MQ⊥AM，

∴直線QQ′：y＝﹣x+，

∴4+p＝﹣×2+，

解得：p＝﹣，

∴PN＝，

∴SAPQM＝2S△AMP＝4S△ANP＝4××PN×AO＝4×××1＝5；

②當P點在AM上方時，如答圖2，

設P（0，p），易知M（1，4），從而Q（2，4+p），

∵△PM Q′與APQM重合部分的面積是APQM面積的，

∴PQ′必過QM中點R（，4+），

易得直線QQ′：y＝﹣x+p+5，

聯立，

解得：x＝，y＝ ，

∴H（，），

∵H為QQ′中點，

故易得Q′（，），

由P（0，p）、R（，4+）易得直線PR解析式為：y＝（﹣）x+p，

將Q′（，）代入到y＝（﹣）x+p得：＝（﹣）×+p，

整理得：p2﹣9p+14＝0，

解得p1＝7，p2＝2（與AM中點N重合，舍去），

∴P（0，7），

∴PN＝5，

∴SAPQM＝2S△AMP＝2××PN×|xM﹣xA|＝2××5×2＝10．

綜上所述，APQM面積為5或10．