Question

【題目】(2014浙江金華)如圖，矩形ABOD的兩邊OB，OD都在坐標軸的正半軸上，OD＝3，另兩邊與反比例函數 (k≠0)的圖象分別相交于點E、F，且DE＝2．過點E作EH⊥x軸于點H，過點F作FG⊥EH于點G．回答下面的問題：

(1)①求反比例函數的解析式．

②當四邊形AEGF為正方形時，求點F的坐標．

(2)小亮進一步研究四邊形AEGF的特征后提出問題：“當AE＞EG時，矩形AEGF與矩形DOHE能否全等？能否相似？”

針對小亮提出的問題，請你判斷這兩個矩形能否全等(直接寫出結論即可)．這兩個矩形能否相似？若能相似，求出相似比；若不能相似，試說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①②F(3，2) （2）不能全等

【解析】(1)①∵四邊形ABOD為矩形，EH⊥x軸，OD＝3，DE＝2，

∴E點坐標為(2，3)．

∴k＝2×3＝6．

∴反比例函數解析式為．

②設正方形AEGF的邊長為a，則AE＝AF＝a，

∴A點坐標為(2＋a，3)，F點坐標為(2＋a，3－a)．

把點F的坐標代入，得(2＋a)(3－a)＝6，

解得a1＝1，a2＝0(舍去)，

∴F點的坐標為(3，2)．

(2)當AE＞EG時，矩形AEGF與矩形DOHE不能全等．

理由如下：

假設矩形AEGF與矩形DOHE全等，則AE＝OD＝3，AF＝DE＝2，

∴A點坐標為(5，3)，

∴F點坐標為(5，1)，而5×1＝5≠6，

∴F點不在反比例函數的圖象上，

∴矩形AEGF與矩形DOHE不能全等．

當AE＞EG時，矩形AEGF與矩形DOHE能相似．

由矩形AEGF與矩形DOHE相似，

得AE︰OD＝AF︰DE，

∴，

設AE＝3t，則AF＝2t，

∴A點坐標為(2＋3t，3)，

∴F點坐標為(2＋3t，3－2t)，

把點F的坐標代入，得(2＋3t)(3－2t)＝6，

解得t1＝0(舍去)， ，

∴，

∴矩形AEGF與矩形DOHE的相似比為．