Question

【題目】如圖1，已知拋物線交y軸于點A（0，4），交x軸于點B（4，0）、C，點P是拋物線上一動點，過點P作x軸的垂線PQ，過點A作于點Q，連接AP（AP不平行x軸）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P在拋物線上運動，若∽（點P與點C對應），求點P的坐標；

（3）如圖2，若點P位于拋物線的對稱軸的右側，將沿AP對折，點Q的對應點為點，當點落在x軸上時，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點P的坐標為或；（3）點P的坐標為或

【解析】

（1）根據待定系數法解答即可；

（2）先求出點C坐標，由∽可得，于是設，，當點P在點Q下方時，則，當點P在點Q上方時，則，分別代入拋物線的解析式，求出k后即得點P坐標；

（3）設，當點落在x軸上，延長QP交x軸于H，如圖，則PQ可用含m的代數式表示，易證，則由相似三角形的性質和折疊的性質可得與m的關系式，從而可得與m的關系式，在中，利用勾股定理即可列出關于m的方程，解方程即可求出m，進一步即可求出點P的坐標．

解：（1）把，分別代入，

得：，解得：，，

∴拋物線解析式為；

（2）如圖1，當時，，解得，，∴；

∵∽，∴，

∴，即，

設，，

當點P在點Q下方時，可得，

∴，

解得：，（舍去），此時，

當點P在點Q上方時，則，

∴，

解得：，（舍去），此時；

綜上所述，點P的坐標為或；

（3）設，

當點落在x軸上，延長QP交x軸于H，如圖，

則，

∵沿AP對折，點Q的對應點為點，

∴，，，

∵，，

∴，

∴，

∴，即，解得：，

∴，

在中，由勾股定理得：，

整理得：，解得，，

此時P點坐標為或；

綜上所述，點P的坐標為或．