Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以AC為直徑作⊙O交AB于點D，線段BC上有一點P．

（1）當點P在什么位置時，直線DP與⊙O有且只有一個公共點，補全圖形并說明理由．

（2）在（1）的條件下，當BP＝，AD＝3時，求⊙O半徑．

Answer 1

【答案】（1）補圖見解析；理由見解析；（2）．

【解析】

（1）根據題意補全圖形如圖所示，情況一：點P在過點D與OD垂直的直線與BC的交點處，根據切線的定義即可得到結論；情況二：如圖，當點P是BC的中點時，直線DP與⊙O有且只有一個公共點，連接CD，OD，根據圓周角定理得到∠ADC=∠BDC=90°，根據直角三角形的性質得到DP=CP，根據切線的判定定理即可得到結論；

（2）由題意可知在Rt△BCD中，根據直角三角形的性質得到BC=2BP，求得BC=，根據相似三角形的性質和勾股定理即可得到結論．

解：（1）補全圖形如圖所示，

情況一：點P在過點D與OD垂直的直線與BC的交點處，

理由：經過半徑外端，并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；

情況二：如圖，當點P是BC的中點時，直線DP與⊙O有且只有一個公共點，

證明：連接CD，OD，如上圖，

∵AC是⊙O的直徑，

∴∠ADC＝∠BDC＝90°，

∵點P是BC的中點，

∴DP＝CP，

∴∠PDC＝∠PCD，

∵∠ACB＝90°，

∴∠PCD+∠DCO＝90°，

∵OD＝OC，

∴∠DCO＝∠ODC，

∴∠PDC+∠ODC＝90°，

∴∠ODP＝90°，

∴DP⊥OD，

∴直線DP與⊙O相切；

（2）在Rt△BCD中，∵∠BDC＝90°，P是BC的中點，

∴BC＝2BP，

∵BP＝，

∴BC＝，

∵∠ACB＝∠BDC＝90°，∠B＝∠B，

∴△ACB∽△CDB，

∴，

∴，

設AB＝x，

∵AD＝3，

∴BD＝x﹣3，

∴x（x﹣3）＝（）2，

∴x＝5（負值舍去），

∴AB＝5，

∵∠BDC＝90°，

∴AC＝＝，

∴OC＝AC＝，

即⊙O的半徑為．