Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，二次函數y＝ax2+bx+c的圖象經過點A（0，﹣4）和B（﹣2，2）．

（1）求c的值，并用含a的式子表示b；

（2）當﹣2＜x＜0時，若二次函數滿足y隨x的增大而減小，求a的取值范圍；

（3）直線AB上有一點C（m，5），將點C向右平移4個單位長度，得到點D，若拋物線與線段CD只有一個公共點，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）b＝2a﹣3；（2）≤a＜0或0＜a≤；（3）0＜a＜4或．

【解析】

（1）把點A（0，﹣4）和B（﹣2，2）分別代入y＝ax2+bx+c，即可求解；

（2）當a＜0時，依題意拋物線的對稱軸需滿足≤﹣2；當a＞0時，依題意拋物線的對稱軸需滿足≥0，即可求解；

（3）①當a＞0時，若拋物線與線段CD只有一個公共點，則拋物線上的點（1，3a﹣7）在D點的下方，即可求解；②當a＜0時，若拋物線的頂點在線段CD上，則拋物線與線段只有一個公共點，即可求解．

解：（1）把點A（0，﹣4）和B（﹣2，2）分別代入y＝ax2+bx+c中，得

c＝﹣4，4a﹣2b+c＝2．

∴b＝2a﹣3；

（2）當a＜0時，依題意拋物線的對稱軸需滿足≤﹣2，

解得≤a＜0．

當a＞0時，依題意拋物線的對稱軸需滿足≥0，

解得 0＜a≤．

∴a的取值范圍是≤a＜0或0＜a≤；

（3）設直線AB的表達式為：y＝mx+n，則，解得：，

故直線AB表達式為y＝﹣3x﹣4，把C（m，5）代入得m＝﹣3．

∴C（﹣3，5），由平移得D（1，5）．

①當a＞0時，若拋物線與線段CD只有一個公共點（如圖1），

y＝ax2+bx+c＝ax2+（2a﹣3）﹣4，當x＝1時，y＝3a﹣7，

則拋物線上的點（1，3a﹣7）在D點的下方，

∴a+2a﹣3﹣4＜5．

解得a＜4．

∴0＜a＜4；

②當a＜0時，若拋物線的頂點在線段CD上，

則拋物線與線段只有一個公共點（如圖2），

∴．

即．

解得（舍去）或．

綜上，a的取值范圍是0＜a＜4或．