Question

【題目】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AC是直徑，弦BD＝BA，EB⊥DC，交DC的延長線于點E．

（1）求證：BE是⊙O的切線；

（2）當sin∠BCE＝，AB＝3時，求AD的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AD＝

【解析】

（1）連接OB，OD，證明△ABO≌△DBO，推出OB∥DE，繼而判斷BE⊥OB，可得出結論；
（2）根據圓周角定理得到∠ABC=90°，根據余角的性質得到∠ACB=∠BCE，求得AC=4，根據勾股定理得到BE=，根據相似三角形的性質得到CE=，根據勾股定理即可得到結論．

（1）證明：連結OB，OD，在△ABO和△DBO中，，

∴△ABO≌△DBO（SSS），∴∠DBO＝∠ABO，∵∠ABO＝∠OAB＝∠BDC，

∴∠DBO＝∠BDC，∴OB∥ED，∵BE⊥ED，∴EB⊥BO，∴BE是⊙O的切線；

（2）∵AC是直徑，∴∠ABC＝90°，∵BE⊥DE，∴∠E＝90°，

∴∠OBC+∠CBE＝∠BAC+∠ACB＝90°，∴∠BAC＝∠EBC，∴∠ACB＝∠BCE，

∵sin∠BCE＝，∴sin∠ACB＝，∵AB＝3，∴AC＝4，∵∠BDE＝∠BAC，

∴sin∠DBE＝，∵BD＝AB＝3，∴DE＝，∴BE＝，

∵∠CBE＝∠BAC＝∠BDC，∠E＝∠E，∴△BDE∽△CBE，∴，

∴CE＝，∴CD＝，∴AD＝．