Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是邊長為6的正方形，點E在邊AB上，BE＝4，過點E作EF∥BC，分別交BD，CD于點G，F兩點，若M，N分別是DG，CE的中點，則MN的長是______．

Answer 1

【答案】

【解析】

作輔助線，構建矩形MHPK和直角三角形NMH，利用平行線分線段成比例定理或中位線定理得：MK＝FK＝1，NP＝3，PF＝2，利用勾股定理可得MN的長．

過M作MK⊥CD于K，過N作NP⊥CD于P，過M作MH⊥PN于H，

則MK∥EF∥NP，

∵∠MKP＝∠MHP＝∠HPK＝90°，

∴四邊形MHPK是矩形，

∴MK＝PH，MH＝KP，

∵NP∥EF，N是EC的中點，

∴

∴PF＝FC＝BE＝2，NP＝EF＝3，

同理得：FK＝DK＝1，

∵四邊形ABCD為正方形，

∴∠BDC＝45°，

∴△MKD是等腰直角三角形，

∴MK＝DK＝1，NH＝NP﹣HP＝3﹣1＝2，

∴MH＝2+1＝3，

在Rt△MNH中，由勾股定理得：MN＝

故答案為：．