Question

【題目】如圖1．在邊長為10的正方形中，點在邊上移動（點不與點，重合），的垂直平分線分別交，于點，，將正方形沿所在直線折疊，則點的對應點為點，點落在點處，與交于點，

（1）若，求的長；

（2）隨著點在邊上位置的變化，的度數是否發生變化？若變化，請說明理由；若不變，請求出的度數；

（3）隨著點在邊上位置的變化，點在邊上位置也發生變化，若點恰好為的中點（如圖2），求的長．

Answer 1

【答案】（1）；（2）不變，45°；（3） ．

【解析】

（1）由翻折可知：EB=EM，設EB=EM=x，在Rt△AEM中，根據EM2=AM2+AE2，構建方程即可解決問題．
（2）如圖1-1中，作BH⊥MN于H．利用全等三角形的性質證明∠ABM=∠MBH，∠CBP=∠HBP，即可解決問題．
（3）如圖2中，作FG⊥AB于G．則四邊形BCFG是矩形，FG=BC，CF=BG．設AM=x，在Rt△DPM中，利用勾股定理構建方程求出x，再在Rt△AEM中，利用勾股定理求出BE，EM，AE，再證明AM=EG即可解決問題．

（1）如圖1中，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A=90°，AB=AD=10，
由翻折可知：EB=EM，設EB=EM=x，
在Rt△AEM中，∵EM2=AM2+AE2，
∴x2=42+（10-x）2，
∴x=．
∴BE=．
（2）如圖1-1中，作BH⊥MN于H．

∵EB=EM，
∴∠EBM=∠EMB，
∵∠EMN=∠EBC=90°，
∴∠NMB=∠MBC，
∵AD∥BC，
∴∠AMB=∠MBC，
∴∠AMB=∠BMN，
∵BA⊥MA，BH⊥MN，
∴BA=BH，
∵∠A=∠BHM=90°，BM=BM，BA=BH，
∴Rt△BAM≌△BHM（HL），
∴∠ABM=∠MBH，
同法可證：∠CBP=∠HBP，
∵∠ABC=90°，
∴∠MBP=∠MBH+∠PBH=∠ABH+∠CBH=∠ABC=45°．
∴∠PBM=45°．
（3）如圖2中，作FG⊥AB于G．則四邊形BCFG是矩形，FG=BC，CF=BG．設AM=x，

∵PC=PD=5，
∴PM+x=5，DM=10-x，
在Rt△PDM中，（x+5）2=（10-x）2+25，
∴x=，
∴AM=，
設EB=EM=m，
在Rt△AEM中，則有m2=（10-m）2+（）2，
∴m= ，
∴AE=10-，
∵AM⊥EF，
∴∠ABM+∠GEF=90°，∠GEF+∠EFG=90°，
∴∠ABM=∠EFG，
∵FG=BC=AB，∠A=∠FGE=90°，
∴△BAM≌△FGE（AAS），
∴EG=AM= ，
∴CF=BG=AB-AE-EG=10- ．