Question

（2012•東莞）觀察下列等式：
第1個(gè)等式：a₁=

1

1×3

=

1

2

×（1-

1

3

）；
第2個(gè)等式：a₂=

1

3×5

=

1

2

×（

1

3

-

1

5

）；
第3個(gè)等式：a₃=

1

5×7

=

1

2

×（

1

5

-

1

7

）；
第4個(gè)等式：a₄=

1

7×9

=

1

2

×（

1

7

-

1

9

）；
…
請(qǐng)解答下列問題：
（1）按以上規(guī)律列出第5個(gè)等式：a₅=

1

9×11

=

1

2

×(

1

9

-

1

11

)

；
（2）用含有n的代數(shù)式表示第n個(gè)等式：a_n=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

×(

1

2n-1

-

1

2n+1

)

（n為正整數(shù)）；
（3）求a₁+a₂+a₃+a₄+…+a₁₀₀的值．

Answer 1

分析：（1）（2）觀察知，找第一個(gè)等號(hào)后面的式子規(guī)律是關(guān)鍵：分子不變，為1；分母是兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的乘積，它們與式子序號(hào)之間的關(guān)系為 序號(hào)的2倍減1和序號(hào)的2倍加1．
（3）運(yùn)用變化規(guī)律計(jì)算．

解答：解：根據(jù)觀察知答案分別為：
（1）

1

9×11

；

1

2

×(

1

9

-

1

11

)；     

（2）

1

(2n-1)(2n+1)

；  

1

2

×(

1

2n-1

-

1

2n+1

)；

（3）a₁+a₂+a₃+a₄+…+a₁₀₀的
=

1

2

×（1-

1

3

）+

1

2

×（

1

3

-

1

5

）+

1

2

×（

1

5

-

1

7

）+

1

2

×（

1

7

-

1

9

）+…+

1

2

×(

1

199

-

1

201

)
=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+

1

7

-

1

9

+…+

1

199

-

1

201

）
=

1

2

（1-

1

201

）
=

1

2

×

200

201

=

100

201

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查尋找數(shù)字的規(guī)律及運(yùn)用規(guī)律計(jì)算．尋找規(guī)律大致可分為2個(gè)步驟：不變的和變化的；變化的部分與序號(hào)的關(guān)系．