Question

（2012•東莞）如圖，拋物線y=

1

2

x²-

3

2

x-9與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，連接BC、AC．
（1）求AB和OC的長；
（2）點E從點A出發，沿x軸向點B運動（點E與點A、B不重合），過點E作直線l平行BC，交AC于點D．設AE的長為m，△ADE的面積為s，求s關于m的函數關系式，并寫出自變量m的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，連接CE，求△CDE面積的最大值；此時，求出以點E為圓心，與BC相切的圓的面積（結果保留π）．

Answer 1

分析：（1）已知拋物線的解析式，當x=0，可確定C點坐標；當y=0時，可確定A、B點的坐標，進而確定AB、OC的長．
（2）直線l∥BC，可得出△AED、△ABC相似，它們的面積比等于相似比的平方，由此得到關于s、m的函數關系式；根據題干條件：點E與點A、B不重合，可確定m的取值范圍．
（3）①首先用m列出△AEC的面積表達式，△AEC、△AED的面積差即為△CDE的面積，由此可得關于S_△CDE、m的函數關系式，根據函數的性質可得到S_△CDE的最大面積以及此時m的值；
②過E做BC的垂線EM，這個垂線段的長即為與BC相切的⊙E的半徑，可根據相似三角形△BEF、△BCO得到的相關比例線段求得該半徑的值，由此得解．

解答：解：（1）已知：拋物線y=

1

2

x²-

3

2

x-9；
當x=0時，y=-9，則：C（0，-9）；
當y=0時，

1

2

x²-

3

2

x-9=0，得：x₁=-3，x₂=6，則：A（-3，0）、B（6，0）；
∴AB=9，OC=9．

（2）∵ED∥BC，
∴△AED∽△ABC，
∴

S△AED

S△ABC

=（

AE

AB

）²，即：

s

1 2 ×9×9

=（

m

9

）²，得：s=

1

2

m²（0＜m＜9）．

（3）解法一：∵S_△ACE=

1

2

AE•OC=

1

2

m×9=

9

2

m，
∴S_△CDE=S_△ACE-S_△ADE=

9

2

m-

1

2

m²=-

1

2

（m-

9

2

）²+

81

8

．
∵0＜m＜9，
∴當m=

9

2

時，S_△CDE取得最大值，最大值為

81

8

．此時，BE=AB-AE=9-

9

2

=

9

2

．
記⊙E與BC相切于點M，連接EM，則EM⊥BC，設⊙E的半徑為r．
在Rt△BOC中，BC=

CO2+BO2

=

117

=3

13

．
∵∠OBC=∠MBE，∠COB=∠EMB=90°．
∴△BOC∽△BME，
∴

ME

OC

=

EB

CB

，
∴

r

9

=

9 2

117

，
∴r=

81

2 117

=

27 13

26

．
∴所求⊙E的面積為：π（

81

2 117

）²=

729

52

π．
解法二：∵S_△AEC=

1

2

AE•OC=

1

2

m×9=

9

2

m，
∴S_△CDE=S_△AEC-S_△ADE=

9

2

m-

1

2

m²=-

1

2

（m-

9

2

）²+

81

8

．
∵0＜m＜9，
∴當m=

9

2

時，S_△CDE取得最大值，最大值為

81

8

．此時，BE=AB-AE=9-

9

2

=

9

2

．
∴S_△EBC=

1

2

S_△ABC=

81

4

．
如圖2，記⊙E與BC相切于點M，連接EM，則EM⊥BC，設⊙E的半徑為r．
在Rt△BOC中，BC=

92+62

=

117

．
∵S_△EBC=

1

2

BC•EM，
∴

1

2

×

117

r=

81

4

，
∴r=

81

2 117

=

27 13

26

．
∴所求⊙E的面積為：π（

81

2 117

）²=

729

52

π．

點評：該題主要考查了二次函數的性質、相似三角形的性質、圖形面積的求法等綜合知識．在解題時，要多留意圖形之間的關系，有些時候將所求問題進行時候轉化可以大大的降低解題的難度．