Question

如圖，已知在等腰梯形ABCD中，AD∥BC．
（1）若AD=5，BC=11，梯形的高是4，求梯形的周長；
（2）若AD=a，BC=b，梯形的高是h，梯形的周長為c．則c=

 

；
（請用含a、b、h的代數式表示；答案直接寫在橫線上，不要求證明．）
（3）若AD=3，BC=7，BD=5

2

，求證：AC⊥BD．

Answer 1

分析：（1）可過A，D兩點引BC的垂線，然后根據兩底的差和高的值，求出AB，CD兩邊，然后再得出梯形的周長；
（2）由（1）的解題過程即可得出a，b，h和c的關系式；
（3）由全等三角形ACB和DBC不難得出∠DBC=∠ACB，那么要證AC⊥DB，就要先求出∠DBC=45°，輔助線的方法同（1）過A作AE⊥BC于E，過D作DF⊥BC于F，得出BE=CF=2后即可得出BF，CE的長，然后在直角三角形DBF中可根據BD，BF的長來證得∠DBC是45°，進而可得出AC⊥DB的結論．

解答：解：（1）過A作AE⊥BC于E，過D作DF⊥BC于F．則四邊形ADFE是矩形．
∵四邊形ABCD是等腰梯形，且AB，CD是腰，
∴∠B=∠C，AB=CD．
∵∠AEB=∠DFC，
∴△ABE≌△CDF．
∴BE=CF=

BC-AD

2

=3．
∴直角三角形ABE中，BE=3，AE=4．
根據勾股定理可得出AB=5．
∴四邊形ABCD的周長是AD+BC+2AB=26．

（2）c=2

( b-a 2 )2+h2

+a+b；

（3）過A作AE⊥BC于E，過D作DF⊥BC于F．則四邊形ADFE是矩形．
根據（1）可得出BE=CF=

BC-AD

2

=2，
∴BF=CE=2+3=5．
直角三角形BFD中，BD=5

2

，BF=5，∴cos∠DBF=

BF

BD

=

2

2

．
∴∠DBF=45°，同理可得：∠ACE=45°．
∴AC⊥BD．

點評：本題主要考查等腰梯形的性質的應用．