Question

【題目】如圖所示，△ABC是邊長為2的等邊三角形，D是AB邊的中點，F是BC邊上的動點，E是AC邊上的動點，當E、F的位置在何處時，才能使的周長最小？簡要說明作法．

Answer 1

【答案】點E、F分別為AC、BC中點時，△DEF的周長最小．

【解析】

分別作點D關于BC、AC的對稱點D1、D2，交AC、BC于M、N，連接，分別交AC、BC于點E、F，根據軸對稱的性質可得DE=D1E，DF=D2F，DM⊥AC，DN⊥BC，DM=D1M，DN=D2N，D1D2是△DEF的最小值，由等邊三角形的性質可得∠B=∠A=60°，可得∠ADM=∠BDN=30°，即可得∠D1DD2=120°，利用ASA可證明△ADM≌△BDN，可得DD2=DD1，根據等腰三角形的性質可得∠D1=∠D2=30°，即可證明∠D1=∠ADM，利用ASA可證明△ADM≌△ED1M，可得AM=EM，可證明AD=AE，即可證明點E為AC的中點，同理可得點F為BC的中點，可得答案．

如圖所示，作點D關于AC的對稱點D1，作點D關于BC的對稱點，交AC、BC于M、N，連接，分別交AC、BC于點E、F，

∴DE=D1E，DF=D2F，DM⊥AC，DN⊥BC，DM=D1M，DN=D2N，

∴DE+DF+EF=D1E+EF+D2F=D1D2，

∴D1D2即是△DEF的最小值，則點E、F即為所求，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠A=∠B=60°，

∴∠ADM=∠BDN=90°-60°=30°，

∴∠D1DD2=180°-30°-30°=120°，

∵點D為AB中點，

∴AD=BD，

在△BDN和△ADM中，，

∴△ADM≌△BDN，

∴DN=DM，

∴DD2=DD1，

∴∠D1=∠D2=30°，

∴∠D1=∠ADM，

在△ADM和△ED1M中，，

∴△ADM≌△ED1M，

∴AM=EM，

∵∠ADM=30°，DM⊥AC，

∴AM=AD，

∴AE=AD，

∴點E為AC中點，

同理可得：點F為BC中點，

∴點E、F分別為AC、BC中點時，△DEF的周長最小．