Question

【題目】如圖，M、N是邊長為6的正方形ABCD的邊CD上的兩個動點，滿足AM＝BN，連接AC交BN于點E，連接DE交AM于點F，連接CF．

（1）求證：DE＝BE；

（2）判斷DE與AM的位置關系，并證明；

（3）判斷線段CF是否存在最小值？若存在，求出來，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）DE⊥AM，見解析；（3）存在最小值，最小值為．

【解析】

（1）證明△DAE≌△BAE（SAS）即可解決問題．

（2）想辦法證明∠DAM＝∠EDC即可．

（3）存在最小值．如圖，取AD的中點O，連接OF、OC，利用三角形三邊關系解決問題即可．

解：（1）證明：在正方形ABCD中，AD＝AB，∠DAE＝BAE，又AE為公共邊，

∴△DAE≌△BAE（SAS），

∴DE＝BE．

（2）結論：互相垂直．

理由：：在正方形ABCD中，AD＝BC＝CD，∠ADC＝∠BCD＝90°，

∵AM＝BN，

∴Rt△ADM≌Rt△BCN（HL），

∴∠DAM＝∠CBN

由（1）知DE＝BE，又CD＝CB，CE為公共邊，

∴△DCE≌△BCE（SSS），

∴∠CDE＝∠CBE

∵∠ADF+∠CDE＝∠ADC＝90°

∴∠DAF+∠ADF＝90°

∴∠DFA＝180°﹣90°＝90°

即DE⊥AM．

（3）存在最小值．如圖，取AD的中點O，連接OF、OC，

則OF＝DO＝AD＝3，

在Rt△OCD中，

OC＝，

根據三角形的三邊關系，OF+CF＞OC，

∴當O、F、C三點共線時，CF的長度最小，最小值為OC﹣OF＝．