Question

（2010•路南區三模）研究所對某種新型產品的產銷情況進行了研究，為投資商在甲、乙兩地生產并銷售該產品提供了如下成果：第一年的年產量為x（噸）時，所需的全部費用y（萬元）與x滿足關系式y=

1

10

x2+6x+80，投入市場后當年能全部售出，且在甲、乙兩地每噸的售價p_甲、p_乙（萬元）均與x滿足一次函數關系．（注：年利潤=年銷售額-全部費用）
（1）成果表明，在甲地生產并銷售x噸時，每噸的售價p_甲（萬元）與第一年的年產量為x（噸）之間大致滿足如圖所示的一次函數關系．請你直接寫出p_甲與x的函數關系式，并用含x的代數式表示甲地當年的年銷售額；
（2）根據題中條件和（1）的結果，求年利潤w_甲（萬元）與x（噸）之間的函數關系式和甲的最大年利潤；
（3）成果表明，在乙地生產并銷售x噸時，p_乙=-

1

10

x+n（n為常數），且在乙地當年的最大年利潤為45萬元．試確定n的值；
（4）受資金、生產能力等多種因素的影響，某投資商計劃第一年生產并銷售該產品18噸，根據（2）、（3）中的結果，請你通過計算幫他決策，選擇在甲地還是乙地產銷才能獲得較大的年利潤？
參考公式：拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點坐標是(-

b

2a

，

4ac-b2

4a

)．

Answer 1

分析：（1）根據圖象過（20，14），（40，13）運用待定系數法求一次函數解析式即可；
（2）利用公式法直接求出最值即可；
（3）根據（1）中方法，得出w與x之間的關系，再利用最值公式求出即可；
（4）分別將x=18，代入兩解析式，即可得出兩地利潤．

解答：解：（1）將（20，14），（40，13）代入p=kx+b，

20k+b=14 40k+b=13

，
解得：
∴p_甲=-

1

20

x+15，
∴w_甲=-

1

20

x²+15x（0≤x≤300），

（2）年利潤w_甲（萬元）與x（噸）之間的函數關系式為：
w_甲=-

1

20

x²+15x-（

1

10

x2+6x+80）
=-

3

20

x²+9x-80，
甲的最大年利潤

4ac-b2

4a

=55（萬元）；

（3）由題意得：w_乙=（-

1

10

x+n）x-（

1

10

x2+6x+80），
整理得：
w_乙=-

1

10

x²+nx-（

1

10

x²+6x+80）
=-

1

5

x²+（n-6）x-80．
由

4×(- 1 5 )×(-80)-(n-6) 2

4×( - 1 5 )

=45，
解得n=16或-4．
經檢驗，n=-4不合題意，舍去，
∴n=16．

（4）在乙地區生產并銷售時，年利潤
w_乙=-

1

5

x²+10x-80，
將x=18代入上式，得w_乙=35.2（萬元）；
將x=18代入w_甲=-

3

20

x²+9x-80，
得w_甲=33.4（萬元）．
∵W_乙＞W_甲，
∴應選乙地．

點評：此題主要考查了待定系數法求一次函數解析式以及二次函數最值求法，根據題意表示出二次函數關系是解決問題的關鍵．