Question

（2010•路南區三模）已知，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，BD平分∠ABC，交AC于點D．動點P從D點出發沿DC向終點C運動，速度為每秒1個單位，動點Q從B點出發沿BA向終點A運動，速度為每秒4個單位．兩點同時出發，當一點到達終點時，兩點停止運動．設P、Q運動時間為t秒．
（1）求線段CD的長；
（2）求△BPQ的面積S與t之間的函數關系式；當S=7.2時，求t的值；
（3）在點P、點Q的移動過程中，如果將△APQ沿其一邊所在直線翻折，翻折后的三角形與△APQ組成一個四邊形，直接寫出使所組成的四邊形為菱形的t的值．

Answer 1

分析：（1）過點D作DE⊥AB于E，由角平分線的性質定理就可以得出DE=DC，BE=BC=6，由勾股定理可以求出AB，設出CD=x，則可以表示出AD、BE，由勾股定理就可以求出x．
（2）作QF⊥AC于F，可以這么三角形相似把QF用含t的式子表示出來，而S_△BPQ=S_△ABC-S_△AQP-S_△PCB，就可以表示出積S與t之間的函數關系式．
（3）當BQ=BP時利用勾股定理建立等量關系就可以求出其t值，當BP=QP時，作PM⊥AB，根據等腰三角形的性質就可以求出其t值；當PQ=BQ時，作QN⊥AC，利用三角形相似就可以求出其t值．

解答：解：（1）過點D作DE⊥AB于E，
∵BD平分∠ABC，∠ACB=90°，
∴DE=DC，
∴△BDE≌△BDC，
∴BE=BC，在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AB=

36+64

=10，
設CD=x，則AD=8-x，DE=x，
∴16+x²=（8-x）²，
∴x=3，
∴CD=3．


（2）作QF⊥AC于F，
∴∠AFQ=90°，
∵∠ACB=90°，
∴QF∥BC，
∴△AQF∽△ABC，
∴

AQ

AB

=

QF

BC

，
∴

10-4t

10

=

QF

6

，
∴QF=

30-12t

5

，
∴S△BPQ=

1

2

×6×8-

6×(3-t)

2

-

1

2

（5+t）•

30-12t

5

，
∴S=

6

5

t²+6t，
當S=7.2時，
7.2=

6

5

t²+6t，
解得，t₁=-6（舍去），t₂=1；


（3）當AQ=AP時，BQ=4t，CP=3-t，在Rt△BPC中，由勾股定理，得
16t²=（3-t）²+36，
解得x1=

-1-2 19

5

（舍去），x2=

-1+2 19

5

；
當AP=PQ時，t₁=1，t₂=

15

7

；
當PQ=AQ時，不存在．
∴t的值為：

-1+2 19

5

，1，

15

7

．

點評：本題考查了軸對稱，三角形的面積，兩點間的距離，菱形的判定及性質，勾股定理的運用，相似三角形的判定及性質．