Question

【題目】如圖，ABCD的對角線AC、BD交于點O，DE平分∠ADC交AB于點E，∠BCD=60°，AD=AB，連接OE．下列結論：①SABCD=ADBD；②DB平分∠CDE；③AO=DE；④S△ADE=5S△OFE，其中正確的結論是_____.

Answer 1

【答案】①②

【解析】

求得∠ADB=90°，即AD⊥BD，即可得到SABCD=ADBD；依據∠CDE=60°，∠BDE=30°，可得∠CDB=∠BDE，進而得出DB平分∠CDE；依據Rt△AOD中，AO＞AD，即可得到AO＞DE；依據OE是△ABD的中位線，即可得到OE∥AD，OE=AD，進而得到△OEF∽△ADF，依據S△ADF=4S△OEF，S△AEF=2S△OEF，即可得到S△ADE=6S△OFE．

∵∠BAD=∠BCD=60°，∠ADC=120°，DE平分∠ADC，

∴∠ADE=∠DAE=60°=∠AED，

∴△ADE是等邊三角形，

∴AD=AE=AB，

∴E是AB的中點，

∴DE=BE，

∴∠BDE=∠AED=30°，

∴∠ADB=90°，即AD⊥BD，

∴SABCD=ADBD，

故①正確；

∵∠CDE=60°，∠BDE30°，

∴∠CDB=∠BDE，

∴DB平分∠CDE，

故②正確；

∵Rt△AOD中，AO＞AD，

∴AO＞DE，

故③錯誤；

∵O是BD的中點，E是AB的中點，

∴OE是△ABD的中位線，

∴OE∥AD，OE=AD，

∴△OEF∽△ADF，

∴S△ADF=4S△OEF，且AF=2OF，

∴S△AEF=2S△OEF，

∴S△ADE=6S△OFE，

故④錯誤.

故答案為①②．