Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，AE平分交BC于點E，若，

（1）求的度數。

（2）求的度數。

Answer 1

【答案】（1）∠ACB=30°；（2）∠BOE=75°；

【解析】

(1)由矩形的性質可得∠BAD=∠ABC=90°，由角平分線的定義可得∠BAE=45°，從而得∠AEB=45°，再根據三角形外角的性質即可求得答案；

(2)由矩形的性質可得AO=BO=OC，從而有∠OBC=∠OCB=30°，再證明△AOB是等邊三角形，從而可得AB=OB，再根據∠BAE=∠AEB=45°，得到AB=BE，繼而得BE=BO，再根據等腰三角形的性質即可求得答案.

(1)∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠BAD=∠ABC=90°，

∵AE平分∠BAD，

∴∠BAE=45°，

∴∠AEB=90°-∠BAE=45°，

∵∠AEB=∠EAC+∠ACB，∠CAE=15°，

∴∠ACB=45°-15°=30°；

(2)∵四邊形ABCD是矩形，

∴AO=CO=AC，BO=BD，AC=BD，

∴AO=BO=OC，

∴∠OBC=∠OCB=30°，

∵∠BAO=∠BAE+∠CAE=45°+15°=60°

∴△AOB是等邊三角形，

∴AB=OB，

∵∠BAE=∠AEB=45°，

∴AB=BE，

∴BE=BO，

∴∠BOE=(180°-30°)÷2=75°.