Question

電焊工想利用一塊長5m、寬4m的矩形鋼板ABCD作出一個面積盡可能大的扇形．
（1）他先在鋼板上沿對角線割下兩個扇形，如圖①（1），再焊接成一個大扇形．請你求出此扇形ABC【如圖①（2）】的圓心角（精確到0.1°）；
（參考數據：sin53.13°≈

4

5

，cos36.87°≈

4

5

，tan38.66°≈

4

5

，tan21.80°≈

2

5

，tan14.93°≈

4

15

．）

（2）為了制作更大的扇形鋼板，可以按如圖②所示的方法把矩形鋼板的寬2等分、3等分，…，n等分后，再把每個小矩形按圖1（1）的方法分割，最后把割下的扇形焊接成一個大扇形．當n越來越大時，最后焊接成的大扇形的圓心角（　　）
A、小于90°     B、等于90°     C、大于90°．

Answer 1

分析：（1）可先根據∠DBC的正切值來得出∠CDQ的度數，由于平行線之間內錯角相等，因此焊接成的扇形的圓心角應該是∠CDQ的2倍．
（2）當n無限大時，扇形的半徑應該無限接近5，而扇形的弧長應該無限接近4+4=8，那么圓心角=8×180÷π÷5≈92°，因此n無限大時，大扇形的圓心角應該大于90°．

解答：（1）解：在Rt△ABD中，tan∠ABD=

AD

AB

=

4

5

，
∴∠ABD≈38.66°，
同理∠BDC≈38.66°，
∴∠ABC=∠ABD+∠BDC=77.32°≈77.3°；

（2）當弧長為8時，圓心角約為92°，故選C．

點評：本題主要考查了扇形弧長的計算公式；要注意（2）在求解時可利用極端值進行計算．