Question

電焊工想利用一塊邊長為a的正方形鋼板ABCD做成一個扇形，于是設計了以下三種方案：
方案一：如圖1，直接從鋼板上割下扇形ABC．
方案二：如圖2，先在鋼板上沿對角線割下兩個扇形，再焊接成一個大扇形（如圖3）．
方案三：如圖4，先把鋼板分成兩個相同的小矩形，并在每個小矩形里割下兩個小扇形，然后將四個小扇形按與圖3類似的方法焊接成一個大扇形．

（1）容易得出圖1、圖3中所得扇形的圓心角均為90°，那么按方案三所焊接成的大扇形的圓心角也為90°嗎？為什么？
（2）容易得出圖1中扇形與圖3中所得大扇形的面積相等，那么按方案三所焊成的大扇形的面積也與方案二所焊接成的大扇形的面積相等嗎？若不相等，面積是增大還是減小？為什么？
（3）若將正方形鋼板按類似圖4的方式割成n個相同的小矩形，并在每個小矩形里割下兩個小扇形，然后將這2n個小扇形按類似方案三的方式焊接成一個大扇形，則當n逐漸增大時，所焊接成的大扇形的面積如何變化？

Answer 1

分析：（1）取AB的中點M，取GH的中點N，連接MN，GM，得出正方形AMNG，求出∠MBG+∠MGB=45°，根據大邊對大角得出∠MBG＞22.5°，求出圓心角大于90°；
（2）根據扇形的面積公式，

nπr2

360

中

πr2

360

不變，n越來越大，得出扇形面積越來越大，即可得出答案；
（3）根據n越來越大得出圓心角越來越大，根據扇形面積公式即可得出答案．

解答：（1）解：大于90°，
理由是：
取AB的中點M，取GH的中點N，連接MN，GM，
則四邊形AMNG是正方形，
∠AMG=45°，
即∠MBG+∠MGB=45°，
∵GM＞AM．AM=BM，
∴∠MBG＞∠MGB，
∴∠MBG＞22.5°，
∴4∠MBG＞4×22.5，
即組成的扇形的圓心角大于90°．

（2）解：面積增大了，
理由是：∵扇形的面積是

nπr2

360

，而

πr2

360

是一個常數，
n大于90°，
∴按方案三所焊成的大扇形的面積大于按方案二所焊接成的大扇形的面積．

（3）解：∵n越大，所焊接的扇形的圓心角越大，
又∵

πr2

360

不變，
∴扇形的面積也越來越大，
即當n逐漸增大時，所焊接成的大扇形的面積也逐漸增大．

點評：本題考查了正方形的性質和判定，等腰三角形性質，扇形的面積計算等知識點，主要考查學生的分析問題和解決問題的能力，題目比較典型，但是有一定的難度．